Ley de Faraday en circuitos con múltiples espiras y diferentes campos magnéticos

Question

Ley de Faraday en circuitos con múltiples espiras y diferentes campos magnéticos

Sørën

Estoy confundido acerca de la aplicación de la Ley de Faraday en situaciones con un circuito hecho de dos bucles que encierran dos flujos magnéticos cambiantes diferentes . ¿Cuál de los dos es correcto?

La fem en cada bucle depende únicamente del flujo magnético cambiante encerrado en ese bucle .
La fem en cada bucle depende tanto del flujo magnético cambiante encerrado en ese bucle como también del flujo cambiante encerrado por los bucles circundantes .

Voy a hacer un ejemplo para mostrar las dos opciones. Considere el circuito hecho de dos bucles.

En el caso A, cada uno encierra un solenoide diferente, donde el campo magnético $B$ cambia en el tiempo (y se dirige de dos maneras diferentes).

En el caso B, solo uno de los bucles encierra un flujo magnético variable, ya que no hay solenoide izquierdo.

En el caso A, según 1., la corriente en el bucle izquierdo debe depender solo del campo magnético del solenoide izquierdo.

Y en el caso B, la fem total en el bucle izquierdo debe ser cero ya que no hay flujo magnético cambiante encerrado por el bucle izquierdo, es decir

{fem}_{yo mi F t yo o o pag} = \oint_{yo mi F t yo o o pag} {mi}_{i norte d tu C mi d} \cdot d yo = - \frac{d}{d t} Φ_{adjunto} = 0

$\textrm{emf}_{\mathrm{left \, loop}}=\oint_{\mathrm{left \,\, loop}} E_{\mathrm{induced}} \cdot \mathrm dl =-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \Phi_\textrm{enclosed}=0$

Sin embargo, en ambos casos una rama (la que tiene $R_2$ ) es común entre los dos bucles y allí la fem también debe verse afectada por el solenoide derecho (y ser distinta de cero en caso de que $B$ ). Esto lleva a una contradicción con lo dicho anteriormente.

Entonces, ¿1. o 2. es correcto?

Respuestas (2)

Ley de Faraday en circuitos con múltiples espiras y diferentes campos magnéticos

geejay · Answer 1

Creo que de todas las ecuaciones de Maxwell, la ley de Faraday es la que más te pone a prueba. Pero tienes que recordar que siempre, siempre, siempre se mantiene. Todo lo que tienes que hacer es elegir un bucle.

es correcto. Una vez que haya elegido su ciclo, olvídese de todo lo demás por un momento y concéntrese solo en el ciclo. Aquí está el algoritmo:

Pregúntese, ¿hay algún flujo cambiante a través de mi bucle? Si la hay, esa es tu fem. Si no la hay, la fem es cero. Sin embargo, tenga en cuenta que cero emf en un bucle no significa cero corriente en él.

Ahora, encuentre todas las caídas o aumentos potenciales que experimenta la corriente en el bucle y establezca su suma para que sea igual a $\frac{\mathrm d\phi}{\mathrm dt}$ . Durante este paso, encuentro que el método de corriente de malla es más útil.

Ahora, mira solo el bucle izquierdo:

I_{1} R_{1} + (I_{1} + I_{2}) R_{2} = \frac{d ϕ_{1}}{d t}

$I_1R_1+(I_1+I_2)R_2=\frac{\mathrm d\phi_1}{\mathrm dt}$

..y luego en el bucle correcto:

I_{2} R_{3} + (I_{1} + I_{2}) R_{2} = \frac{d ϕ_{2}}{d t}

$I_2R_3+(I_1+I_2)R_2=\frac{\mathrm d\phi_2}{\mathrm dt}$

si $I_1$ y $I_2$ son las incógnitas, esto es suficiente para resolverlas.

También puede hacer esto para el bucle "super":

I_{1} R_{1} - I_{2} R_{3} = \frac{d ϕ_{1}}{d t} - \frac{d ϕ_{2}}{d t}

$I_1R_1-I_2R_3=\frac{\mathrm d\phi_1}{\mathrm dt}-\frac{\mathrm d\phi_2}{\mathrm dt}$

Las tres ecuaciones dan el mismo resultado.

Con respecto a 2., la fem en un bucle no está influenciada por las fem circundantes, la corriente en él sí lo está. En la imagen B, hay una corriente en el bucle izquierdo, pero la suma de las diferencias de potencial que encuentra esta corriente será cero, porque la fem es cero. es decir:

I_{1} R_{1} + (I_{1} + I_{2}) R_{2} = 0

$I_1R_1+(I_1+I_2)R_2=0$

Puedes reescribir las otras dos ecuaciones también y cambiar $\frac{\mathrm d\phi_1}{\mathrm dt}$ a $0$ en ambos.

¡Espero que esto haya ayudado!

¡Muchas gracias por esta respuesta clara y completa! Si se me permite, en mi libro de texto, el ejercicio del que se toma la imagen, está resuelto de una manera que contrasta un poco con el 1. (y por eso pregunté). Considere la situación A: en el método de corriente de malla de libro de texto se usa y la ecuación es la misma que usted propuso, además del hecho de que la fem considerada en cada bucle es (menos) la derivada del tiempo del flujo magnético encerrado por ese bucle más $1/4$ de la derivada temporal del flujo en el otro lazo , y esto se justifica diciendo "eso es por la rama central común".
Es decir (llamando al solenoide izquierdo $1$ y el solenoide derecho $2$ , y considerando que el campo magnético $B$ es el mismo en ambos solenoides pero varía en el tiempo) ${\begin{cases} i_{1} R_{1} + (i_{1} + i_{2}) R_{2} = \frac{d B}{d t} π r_{1}^{2} + \frac{1}{4} \frac{d B}{d t} π r_{2}^{2} \\ i_{2} R_{2} + (i_{1} + i_{2}) R_{2} = \frac{d B}{d t} π r_{2}^{2} + \frac{1}{4} \frac{d B}{d t} π r_{1}^{2} \end{cases}$ $\begin{cases} i_1 R_1+ (i_1+i_2) R_2=\frac{dB}{dt} \pi r_1^2 + \frac{1}{4}\frac{dB}{dt} \pi r_2^2 \\ i_2 R_2+ (i_1+i_2) R_2=\frac{dB}{dt} \pi r_2^2 + \frac{1}{4}\frac{dB}{dt} \pi r_1^2 \end{cases}$ No puedo explicar por qué esto $1/4$ de la fem debe tenerse en cuenta, además de la fem causada por el cambio de flujo magnético cerrado. ¿Podría darme alguna sugerencia al respecto?
@Sørën No veo ninguna razón por la que se deba tener en cuenta esta fem adicional.

lelouch · Answer 2

es la idea correcta. Esto se debe a que, de las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial, tenemos:

$\nabla \times \vec E$ = - $\frac{\partial \vec B}{\partial t}$

Ahora, usando la ley de Stoke, sabemos que para el rotacional de una función vectorial $F$ sobre la superficie $S$ , teniendo límite $B$ lo siguiente es cierto:

$\iint_S (\nabla \times \vec F).da$ = $\int_B \vec F . dr$

Aplicando esto a la ecuación de Maxwell anterior, tenemos, para un área elegida $S$ y su límite $B$ :

$\iint_S (\nabla \times \vec E).da$ = - $\iint_S (\frac{\partial \vec B}{\partial t}).da$ = $\int_B \vec E . dr$ . El término medio denota el flujo (para área constante $S$ como en el ejemplo que mencionaste anteriormente). Tenga en cuenta que el flujo da la fem inducida solo alrededor del límite elegido $B$ .

Entonces, para resumir, elija una ruta de circuito y encuentre el flujo solo a través de ese límite. Encuentre la fem y, por lo tanto, la corriente en todas las ramas. Haga esto para todos los contornos posibles en el circuito. Aplique el principio de superposición para cada rama y, por lo tanto, encuentre la corriente neta a través de cada parte del circuito.

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