Medición de ángulos en la derivación del campo magnético de un solenoide infinitamente largo

Tengo una duda en la derivación del campo magnético dentro de un solenoide infinitamente largo de radio.$R$.

Para derivar$B$se consideran todos los bucles en el solenoide: en una longitud$dx$hay$n\,dx$bucles, cada uno de los cuales produce un campo magnético, por lo que tenemos:

$$d B= \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{R^2}{(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}} n \,dx$$

Para obtener$B$, considere por separado los casos$1$y$2$como en la imagen En los dos casos la corriente fluye como se indica ($\times$está entrando en la pantalla,$\odot$sale de la pantalla), pero los ángulos (en caso$1$ $\theta$, En caso$2$ $\phi$) se miden desde los dos lados opuestos del solenoide.

Caso$1$:

$$\sqrt{R^2+x^2} \,\,\mathrm{sin \theta}=R$$

$$x-x_0=R \mathrm{cotg \theta} \to dx=-\frac{R}{\mathrm{sin^2 \theta}} d\theta$$

$$B(x_0)=\frac{\mu_0 n i }{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} -\mathrm{sin{\theta}} \,\,\,d\theta =\frac{\mu_0 n i }{2} (\mathrm{cos\theta_2}-\mathrm{cos\theta_1})$$

Caso$2$:

$$\sqrt{R^2+x^2} \,\,\mathrm{sin \phi}=R$$

$$x-x_0=-R \mathrm{cotg \phi} \to dx=\frac{R}{\mathrm{sin^2 \phi}} d\theta$$

$$B(x_0)=\frac{\mu_0 n i }{2} \int_{\phi_1}^{\phi_2} \mathrm{sin{\phi}} \,\,\,d\theta =\frac{\mu_0 n i }{2} (\mathrm{cos\phi_1}-\mathrm{cos\phi_2})$$

Aquí está el problema: en ambos casos, la condición límite del solenoide infinitamente largo es que el primer ángulo ($\phi_1$o$\theta_1$) es$0$y el segundo ángulo ($\phi_2$o$\theta_2$) es$\pi$.

Sin embargo, haciendo la sustitución en caso$1$yo obtengo

$$B=-\mu_0 n i$$

mientras que en el caso$2$yo obtengo

$$B=+\mu_0 i n$$

cual es el resultado correcto.

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¿Hay alguna razón en particular por la cual la medición del ángulo debe hacerse como en el caso$2$y no como en el caso$1$para obtener el resultado correcto? ¿O ambos métodos son válidos? Si es así, ¿cómo es posible obtener un resultado diferente solo por la orientación de la medición del ángulo?