Campo magnético en un capacitor

Question

Campo magnético en un capacitor

Sebastián

Si en un capacitor plano, formado por dos armaduras circulares de radio $R$ , colocado a distancia $d$ , dónde $R$ y $d$ se expresan en metros (m), se aplica una diferencia de potencial variable al refuerzo a lo largo del tiempo e inicialmente cero, un campo magnético variable $B$ se detecta dentro del condensador. Despreciando los efectos a bordo, a distancia $r$ del eje de simetría del condensador, la intensidad de $B$ varía con la ley

$\begin{matrix} (1) & B (r) = \frac{k t}{\sqrt{(a^{2} + t^{2})^{3}}} r r \leq R, \end{matrix}$ $\boxed{B(r)=\dfrac{kt}{\sqrt{(a^2+t^2)^3}}\,r} \quad r\leq R,\quad \tag{1}$

dónde $a$ y $k$ son constantes positivas y $t$ es el tiempo transcurrido desde el momento inicial, expresado en segundos (s).

1. ¿Cómo puedo probar la $(1)$ ?

2. ¿ Por qué la dirección del campo eléctrico es $E$ dentro del capacitor la del eje de simetría y las líneas del campo magnético generado por la corriente de desplazamiento son líneas circulares concéntricas, con centro en el eje de simetría, y se encuentran en planos paralelos a los refuerzos y perpendiculares al eje de simetría?

(La imagen está tomada de este enlace: Campo magnético de corrientes de desplazamiento en un capacitor y un campo magnético exterior aplicado )

¿Existe una explicación matemática?

3. ¿Qué sucede cuando $r>R$ ?

Mis consideraciones . Obviamente de la condición anterior $\boldsymbol{\mathrm{E}}$ y $\boldsymbol{\mathrm{B}}$ son perpendiculares a cada punto.

Lo he pensado a partir de la cuarta ecuación de Maxwell en forma diferencial. Por lo tanto tenemos:

\nabla \times B = ϵ_{0} m_{0} \frac{\partial mi}{\partial t} + m_{0} j

$\boldsymbol{\nabla}\times \boldsymbol{\mathrm{B}}=\epsilon_0\mu_0\frac{\partial \boldsymbol{\mathrm{E}}}{\partial t}+\mu_0\boldsymbol{\mathrm{J}}$

donde la cuarta ecuación de Maxwell en forma integral se convierte en el teorema de Ampère-Maxwell:

\oint_{ℓ} B \cdot d yo = m_{0} I_{mi norte C yo o s tu r mi} = \sum_{k} m_{0} I_{k} = m_{0} (I_{s} + I_{C})

$\oint_\ell \boldsymbol{\mathrm{B}} \cdot d\boldsymbol{\mathrm{l}}=\mu_0 I_{\mathrm{enclosure}}=\sum_k\mu_0I_k=\mu_0(I_s+I_c)$ donde con

I_{s}

$I_s$ indicamos la suma de todas las corrientes de desplazamiento y con

I_{c}

$I_c$ todas las corrientes de conducción. Recuerde que la corriente de desplazamiento está dada por

I_{s} = ϵ_{0} m_{0} \frac{\partial mi}{\partial t}

$I_s=\epsilon_0\mu_0\frac{\partial \boldsymbol{\mathrm{E}}}{\partial t}$ y ser

J = 0

$\boldsymbol{\mathrm{J}}=\boldsymbol{\mathrm{0}}$ (porque en el condensador se presenta un campo magnético incluso en ausencia de imanes y corrientes de conducción). En la región entre las armaduras, el teorema toma la siguiente forma:

\oint_{ℓ} B \cdot d yo = ϵ_{0} m_{0} \frac{\partial mi}{\partial t}

$\oint_\ell \boldsymbol{\mathrm{B}} \cdot d\boldsymbol{\mathrm{l}}=\epsilon_0\mu_0\frac{\partial \boldsymbol{\mathrm{E}}}{\partial t}$ es decir, el circuito

Γ (B)

$\Gamma(\boldsymbol{\mathrm{B}})$ es:

\oint_{ℓ} B \cdot d yo \equiv Γ (B) = ϵ_{0} m_{0} \frac{d Φ (mi)}{\partial t} .

$\oint_\ell \boldsymbol{\mathrm{B}} \cdot d\boldsymbol{\mathrm{l}}\equiv\Gamma(\boldsymbol{\mathrm{B}})=\epsilon_0\mu_0\frac{d\Phi(\boldsymbol{\mathrm{E})}}{\partial t}.$

Sounak Sinha

¿Cuál es la forma explícita del potencial dependiente del tiempo?

Sounak Sinha

Además, en la penúltima ecuación estás equiparando un escalar a un vector

Sebastián

@SounakSinha No lo he entendido. Lo siento.

juanmf

esa imagen es exacta? Esperaría el curso cerrado

\vec{B}

$\vec{B}$ líneas para cancelarse entre sí hasta el límite de las placas del condensador. entonces no

\vec{B}

$\vec{B}$ allá...

Respuestas (1)

Campo magnético en un capacitor

¿Cuál es la forma explícita del potencial dependiente del tiempo?
Además, en la penúltima ecuación estás equiparando un escalar a un vector
esa imagen es exacta? Esperaría el curso cerrado $\vec{B}$ líneas para cancelarse entre sí hasta el límite de las placas del condensador. entonces no $\vec{B}$ allá...

Azzinoth · Answer 1

1. No puede hacerlo sin conocer la dependencia del tiempo del voltaje aplicado. Sin embargo, puedo trabajar al revés y deducir la forma del voltaje requerido para crear dicho campo magnético.

Para un condensador, la densidad de carga es $\sigma=\frac{Q}{A}$ donde Q es la carga y A el área de una placa. El campo eléctrico es proporcional a la densidad de carga. $E=\frac{\sigma}{\epsilon_0}$ . esto nos da

\vec{mi} = \frac{q}{ϵ_{0} A} {\vec{mi}}_{z}

$\vec{E}=\frac{Q}{\epsilon_0 A}\vec{e}_z$

Si sustituimos eso en la ecuación de Maxwell (con corriente entre placas = 0):

\vec{\nabla} \times \vec{B} = m_{0} ϵ_{0} \frac{\partial \vec{mi}}{\partial t} = \frac{m_{0}}{A} \frac{d q}{d t} {\vec{mi}}_{z}

$\vec{\nabla} \times \vec{B}=\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\frac{\mu_0}{A}\frac{d Q}{d t}\vec{e}_z$

Debido a la simetría del problema podemos suponer que el campo magnético tiene la forma

\vec{B} = B_{ϕ} (r) {\vec{mi}}_{ϕ}

$\vec{B}=B_\phi(r) \vec{e}_\phi$

Por lo tanto

\vec{\nabla} \times \vec{B} = B_{ϕ} (r) \vec{\nabla} \times {\vec{mi}}_{ϕ} = \frac{B_{ϕ} (r)}{r} {\vec{mi}}_{z}

$\vec{\nabla} \times \vec{B}=B_\phi(r)\vec{\nabla} \times \vec{e}_\phi=\frac{B_\phi(r)}{r} \vec{e}_z$ (La forma más sencilla de evaluar el rotacional es buscar el rotacional en coordenadas cilíndricas).

Entonces

\Rightarrow B_{ϕ} (r) = \frac{m_{0} r}{A} \frac{d q}{d t}

$\Rightarrow B_\phi(r)=\frac{\mu_0 r}{A} \frac{dQ}{dt}$

\vec{B} = \frac{m_{0} r}{A} \frac{d q}{d t} {\vec{mi}}_{z}

$\vec{B}=\frac{\mu_0 r}{A} \frac{dQ}{dt}\vec{e}_z$

Para obtener el campo magnético dado, el voltaje debe ser

tu (t) = \frac{1}{C} q (t) = \frac{1}{C} \int \frac{d q}{d t} d t = \frac{1}{C} \int \frac{B (r) A}{m_{0} r} d t = \frac{- k}{\sqrt{a^{2} + t^{2}}} \frac{A}{m_{0}} + constante

$U(t)=\frac{1}{C}Q(t)=\frac{1}{C}\int \frac{dQ}{dt}dt=\frac{1}{C}\int \frac{B(r)A}{\mu_0 r}dt=\frac{-k}{\sqrt{a^2+t^2}}\frac{A}{\mu_0}+\text{const.}$

2. Las líneas del campo eléctrico apuntan de cargas positivas a cargas negativas. Recuerde que la dirección del campo eléctrico indica la dirección en la que se empuja una partícula de prueba positiva. En el eje de simetría, la contribución de todas las cargas de las placas se anula en la dirección perpendicular al eje de simetría. Por lo tanto, en el eje de simetría, el campo eléctrico es paralelo al eje. Lejos del eje de simetría, el campo eléctrico es solo aproximadamente paralelo.

Así es como se ve el campo eléctrico. Los colores representan la fuerza del campo eléctrico, siendo el rojo el más fuerte. ( Fuente )

El campo magnético es circular, porque un campo eléctrico que cambia solo su magnitud pero no su dirección producirá un campo magnético circular a su alrededor. Esto es lo que te dice la rotación en la ecuación de Maxwell.

3. Nada especial. Simplemente ya no puedes usar la aproximación de que las líneas de campo son paralelas.

Campo magnético en un capacitor

Sebastián

Sounak Sinha

Sounak Sinha

Sebastián

juanmf

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Azzinoth

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