Demostrando que el campo magnético dentro de un cilindro portador de corriente infinita es cero

Estoy haciendo un autoaprendizaje de física introductoria y estaba trabajando en una pregunta de un libro de texto que tiene varias partes. Las primeras partes me pidieron que mostrara que el campo magnético de un cilindro portador de corriente infinita tiene la forma B → = F ( r ) [ 0 z − y ] si elegimos que el eje x sea el eje central de la tubería. dónde r = y 2 + z 2 . Luego se me pidió que mostrara que en el interior del espacio vacío que F ( r ) = a r 2 , dónde a es una constante de integración. También tuve éxito en eso, siguiendo el esquema del libro de texto, utilicé la definición de rotacional como derivada, calculé rotacional y realicé alguna integración. En resumen, he demostrado que dentro del cilindro B → = a r 2 [ 0 z − y ] .

Sin embargo, estoy atascado en lo que debería ser un simple corolario de mi resultado, que es mostrar que el campo magnético dentro del cilindro en el espacio vacío siempre es 0 . La pista es que el campo en el eje central es 0 por simetría, que yo entiendo. Pero, entonces debería usar mi resultado anterior para el campo interior y el hecho de que el campo es 0 en el eje central para mostrar que es 0 por todas partes adentro. Se supone que esto es una simple conclusión de todo el trabajo que hice anteriormente, pero simplemente no lo veo.

Parece que hay algunos errores en tu redacción. En su segundo párrafo, menciona el campo eléctrico , lo que supongo que fue un error tipográfico. Más importante aún, en el primer párrafo dices que demostraste que B → = a r 2 [ ⋯ ] dentro del cilindro, pero ¿quisiste decir que mostraste eso para fuera del cilindro?
Gracias, arreglado. En general, mostré que la forma de campo se mantiene en un espacio vacío que incluiría el exterior o el interior del cilindro, ya que la carga se encuentra en la superficie del cilindro. Esta es una pregunta de física de primer año, por lo que no debería ser tan difícil. Simplemente no puedo pensar en ello, y me está molestando.
Aunque no está arreglado. La contradicción es que, en el primer párrafo, dices que has demostrado que B → ≠ 0 dentro del cilindro, pero luego en el segundo párrafo estás tratando de mostrar que B → = 0 dentro del cilindro. Ambos no pueden ser verdad.
@DavidZ No es una contradicción si a = 0, que es precisamente lo que estoy tratando de mostrar.
Ah, te tengo. Estoy un poco distraído, supongo.
Tienes que el X componente de B es cero Si B tiene componentes radiales o angulares, por simetría deben ser independientes de θ y X . Si el componente radial fuera distinto de cero, habría un flujo neto dentro o fuera de cualquier cilindro centrado en el eje. Si el componente angular no es cero, por la ley de Ampere debe haber una corriente a través de cualquier círculo centrado en el eje.
@KeithMcClary esa debería ser una respuesta

Respuestas (2)

Entonces tienes eso B → = a r 2 [ 0 z − y ] por lo tanto la magnitud es B = a r 2 z 2 + ( − y ) 2 , dónde a es desconocido.

¿Puedes escribir eso como una función de r ?

¿Puedes investigar qué sucede como r va a cero?

¿Los campos magnéticos son continuos en el espacio vacío (un vacío)?

Si es así, pruebe los siguientes cinco:

¿Qué campo magnético esperas en el origen?

¿Cuál es su magnitud?

Recuerda eso a es una constante desconocida. ¿Hay alguna opción de a Eso permite B para acercarse a la magnitud que necesita a medida que se acerca al origen?

¿Es la única opción? ¿Es lo que querías?

Si no, ¿puedes calcular la integral de línea del campo magnético en un círculo alrededor del origen y compararla con algo?

Con fines educativos, puedo compartir algunos requisitos reales de continuidad. En cualquier superficie delimitada por un triángulo, la componente normal de la B → El campo debe dar el mismo flujo promedio solo en un lado del triángulo que en el otro (o de lo contrario, no puede tomar la divergencia y, por lo tanto, no puede decir que la divergencia es cero).

Existe una regla similar para los componentes tangenciales, pero pueden saltar dependiendo de si tiene corrientes superficiales o si algo súper extremo le está sucediendo a un campo eléctrico en un instante particular.

He estado pensando en estas líneas durante horas. Para responder a tu pregunta, B = a r por supuesto. He estado pensando en tomar el límite cuando r llega a 0, pero no hay ninguna razón por la que lím(B) cuando r --> 0 deba ser 0. Simplemente no es cierto que el límite de un campo magnético cuando se aproxima un punto tiene que ser igual al campo en ese punto. Por ejemplo, hay una discontinuidad en el campo eléctrico de una esfera a medida que se mueve de adentro hacia afuera.
No debería tener que calcular una integral de línea. El libro aún no lo ha cubierto.
Si los campos magnéticos son continuos en el espacio vacío, es trivial. Requerimos Lim(B) como r --> 0 = B(0) = 0 por lo tanto a = 0. Pero, el autor nunca mencionó que los campos magnéticos son continuos en el espacio vacío, y no puedo pensar en cómo probar esto.
@ user7348 La definición de un rizo debe ser en términos de una integral de línea. Hay otras definiciones que son rizos que solo funcionan si el campo tiene derivadas parciales en todas las direcciones, lo que requiere continuidad. Podría ayudar si dices lo que sabes.
Este es un libro de introducción a la física y hemos definido rotacional como una derivada vectorial, por lo que tiene 3 componentes que van como un producto cruzado.
@ user7348 Hay versiones de electromagnetismo en las que el valor en cualquier punto solo importa los valores promedio en regiones de volumen finito (distinto de cero). Pero en esas versiones no se da información diciendo que el valor en el origen es cero ya que el valor en cualquier punto no importa.
Dado que es un libro muy básico, ¿crees que el autor solo quiere que asuma continuidad y tome el límite, y acabe con este problema?
@ user7348 Creo que tal vez ya estabas asumiendo la continuidad si estabas tomando muchas derivadas parciales aquí y en todas partes. Las derivadas parciales no existen si no es continua en la dirección en la que estás tomando la parcial.

La magnitud del campo B es a / r y circula alrededor del eje. Por simetría, entiendes que la magnitud es cero en el eje. Pero si a es cualquier cosa menos cero, su expresión da una magnitud de campo B infinita. Por lo tanto a debe ser cero y, por lo tanto, el campo B también es cero en cualquier otro lugar dentro de la tubería.

El resultado también se sigue de la ley de Ampere. La integral de línea del campo B alrededor de un bucle circular cerrado dentro de la tubería, que no encierra corriente, debe ser cero. Como el campo B es paralelo al elemento de línea (si a es distinto de cero), obtendría una integral de línea distinta de cero. Por lo tanto, ambos a y el campo B debe ser cero.

Sé cómo usar la ley de Ampere para mostrar esto. Realmente quería seguir el razonamiento en la pregunta. El punto de la pregunta es resolverlo sin la Ley de Ampere. Además, tu respuesta no es correcta. Mi ecuación para B se aplica en todos los puntos excepto r = 0. De acuerdo con su línea de razonamiento, K en la ley de Coulomb tendría que ser cero o, de lo contrario, el campo eléctrico de una sola partícula sería infinito en r = 0. Pero eso es incorrecto, porque la ley de Coulomb solo es válida para r distinto de cero.
@ user7348 En primer lugar, no especifica no usar la ley de Ampere (que es lo más obvio y simple). En segundo lugar, debe especificar (y decir por qué) cree que su ecuación no se aplica en r = 0 (me parece que lo hace mientras a = 0 ). La comparación con la ley de Coulomb es irrelevante, ya que no podemos decir que el campo E es cero (o cualquier valor) en el origen, mientras que en este caso podemos decir B=0 en el origen porque es axialmente simétrico y no puede t ser radial.
@ user7348 Posiblemente, lo más importante es que el campo E (y sus derivados espaciales) en el ejemplo de la ley de Coulomb es discontinuo porque las líneas del campo E comienzan y terminan en cargas. El campo B no puede ser discontinuo en ausencia de corrientes.
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