Demostrar que un triángulo delimitado por rectas paralelas a los lados de otro triángulo es semejante a dicho triángulo.

Question

Demostrar que un triángulo delimitado por rectas paralelas a los lados de otro triángulo es semejante a dicho triángulo.

geometría
triangulos
Matemáticas
Geometría euclidiana
construccion geometrica

Roberto Lee

Estaba mirando construcciones geométricas de triángulos similares, y en un momento me encontré con la declaración en la pregunta.

Un triángulo delimitado por vértices que son intersecciones de rectas paralelas a los lados de algún otro triángulo es semejante a dicho triángulo.

Dibujé un ejemplo de la declaración de la siguiente manera:

Donde los vértices del pequeño triángulo verde están dados por las intersecciones de algunas líneas que son paralelas a los lados del triángulo azul. La declaración parece intuitivamente obvia, pero parece que no puedo encontrar una manera de justificarla. Intenté usar el teorema de la intersección , que es lo que normalmente veo que se usa para probar afirmaciones sobre triángulos similares, pero como no estoy compartiendo un lado en ambos triángulos, no pensé que podría usarlo. ¿Alguien sabe un argumento simple para justificar esto? ¡Gracias!

Respuestas (2)

Demostrar que un triángulo delimitado por rectas paralelas a los lados de otro triángulo es semejante a dicho triángulo.

Eduardo Porcela · Answer 1

Una manera fácil de hacer la conexión: Triángulo dado $ABC$ , y a través de puntos externos $D$ , $E$ , $F$ paralelos trazados a $AB$ , $BC$ , $CA$ , respectivamente, formando un triángulo $GHJ$ .

Para prueba explícita de que $\triangle ABC\sim\triangle GHJ$ , extender $AB$ para encontrar los paralelos a $CA$ y $BC$ en $K$ y $L$ . Ya que por paralelos

∠ C A B = ∠ j k L

$\angle CAB=\angle JKL$ y

∠ j k L = ∠ j GRAMO H

$\angle JKL=\angle JGH$ por lo tanto

∠ C A B = ∠ j GRAMO H

$\angle CAB=\angle JGH$ Por la misma razón

∠ C B A = ∠ j L k = ∠ j H GRAMO

$\angle CBA=\angle JLK=\angle JHG$ Por lo tanto, los ángulos restantes

∠ A C B = ∠ GRAMO j H

$\angle ACB=\angle GJH$ y

△ A B C \sim △ GRAMO H j

$\triangle ABC\sim\triangle GHJ$

contraejemplosmatematicas.net · Answer 2

El ángulo entre dos rectas es el mismo que entre dos rectas paralelas a las originales. Por lo tanto los 3 ángulos del triángulo deducido son los mismos que los del triángulo original y los triángulos son semejantes.

Demostrar que un triángulo delimitado por rectas paralelas a los lados de otro triángulo es semejante a dicho triángulo.

Roberto Lee

Respuestas (2)

Eduardo Porcela

Roberto Lee

contraejemplosmatematicas.net

Una pregunta sobre un triángulo rectángulo contenido en un triángulo equilátero

¿Cuál es el área del semicírculo verde?

¿Cómo mostrar explícitamente que los ángulos 222 son distintos en esta construcción geométrica circular?

Encontrar un ángulo faltante en la imagen que contiene un hexágono regular y un cuadrado

¿Construir un triángulo dados tres cevianos concurrentes?

Si p,q,rp,q,rp,q,r son las longitudes de las perpendiculares desde los vértices del triángulo ABCABCABC en cualquier recta, probar a2(p−q)(p−r)+b2(q−r)(q−p )+c2(r−p)(r−q)=4Δ2a2(p−q)(p−r)+b2(q−r)(q−p)+c2(r−p)(r−q)= 4Δ2a^2(pq)(pr)+b^2(qr)(qp)+c^2(rp)(rq)=4\Delta^2

¿Hay alguna figura trilateral en geometría euclidiana que no sea un triángulo?

Encuentre ∠CAD∠CAD\angle CAD en la siguiente figura.

Usando Menelao para mostrar: Las bisectrices perpendiculares de las bisectrices de los ángulos de un triángulo se encuentran con los lados opuestos en puntos colineales

Línea a través del punto medio del vértice-centroide del triángulo