¿Por qué debería existir este límite multivariable?

Considere el límite

límite ( X , y ) → ( 0 , 0 ) t a norte − 1 ( X y ) X y

Mi argumento de por qué el límite no existe: no existe a lo largo del camino y = 0 . O, en otro punto de vista, t a norte − 1 ( X y ) X y es indefinido en infinitos puntos en cualquier vecindad de ( 0 , 0 ) .

Pero en muchas preguntas como esta, se ignora el razonamiento anterior y se procede con otras técnicas. (Así: Cálculo sin límite con dos variables [cálculo multivariable] ) Pero, ¿cómo es eso válido? ¿Puede existir el límite con la función indefinida en tantos puntos alrededor del punto dado?

Generalmente, estás restringiendo implícitamente tu atención a caminos que se acercan ( 0 , 0 ) pero están dentro del dominio de la función. en este caso, también está el hecho de que si bien la función ciertamente no está definida como está escrita a lo largo X = 0 o y = 0 , esas son todas discontinuidades removibles.
Entonces, el límite no debería existir como está escrito. ¿Pero ignoramos esos caminos si las discontinuidades son removibles? (por ejemplo, en este caso, podemos definir la función como 1 cuando X y = 0 ).
Si el límite existe tal como está escrito depende de la definición de límite, que puede variar de un texto a otro, pero el comentario de Nick Peterson cubre un enfoque pragmático y común que los matemáticos podrían adoptar.
Ok lo tengo. Gracias: D.
Sí, como ha dicho la gente, generalmente consideramos solo los puntos que están dentro del dominio de la función.
Es eso broncearse − 1 ⁡ ( X y ) o broncearse − 1 ⁡ ( X ) ⋅ y ? Trate de evitar notaciones ambiguas como esta.

Respuestas (1)

Aquí hay una definición de límites:

Dejar X , Y ser espacios métricos, mi ⊆ X , F : X → Y ser una función, y a ser un punto límite de mi . Decimos la función F tiene un límite en a (en el espacio Y ) si se cumple la siguiente condición:

  • Existe yo ∈ Y tal que por cada ϵ > 0 , existe un d > 0 tal que para todos X ∈ mi , si 0 < d X ( X , a ) < d entonces d Y ( F ( X ) , yo ) < ϵ .

En este caso, podemos probar yo es único y escribimos límite X → a F ( X ) = yo

En esta formulación de límites, observe que la función F no tiene que estar definido en todo el espacio X . Solo necesita ser definido en un determinado subconjunto. mi (es muy posible que X ∖ mi es un conjunto infinito, pero esto no importa). Además el punto, a , donde estamos calculando el límite ni siquiera tiene que ser un elemento de mi ; solo necesitamos a ser un punto límite de mi .

En su caso, tomamos X = R 2 , Y = R (ambos con las métricas euclidianas habituales) y mi = { ( X , y ) ∈ R 2 | X y ≠ 0 } . En este caso, definimos F : mi → Y = R por F ( X , y ) = arcán ⁡ ( X y ) X y , y el punto ( 0 , 0 ) es ciertamente un punto límite del conjunto mi . Por lo tanto, ciertamente podemos tratar de calcular el límite (y en este caso el límite existe y es igual a 1 ... si necesita más detalles sobre eso, hágamelo saber)

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