Definiciones de representación equivalente

Question

Definiciones de representación equivalente

Matemáticas
espacios vectoriales
álgebra abstracta
teoría de la representación
transformaciones lineales

el hombre

Una representación matricial de un grupo. $G$ es un homomorfismo

ρ : GRAMO \to GRAMO L_{norte} (C)

$\rho : G \rightarrow GL_{n}(\mathbb{C})$

Un espacio G es un espacio vectorial $V$ equipado con una acción de $G$

GRAMO \times V \to V, (gramo, v) \to gramo v

$G \times V \rightarrow V, (g,v) \rightarrow gv$ tal que el mapa es lineal,

e v = v

$ev = v$ , dónde

e

$e$ es la identidad en

G

$G$ y

(g_{1} g_{2}) (v) = g_{1} (g_{2} v)

$(g_1g_2)(v) = g_1(g_2v)$ .

Una representación de un grupo. $G$ es un espacio vectorial $V$ y un homomorfismo

ρ : GRAMO \to GRAMO L (V)

$\rho : G \rightarrow GL(V)$

Ahora, aparentemente, todas estas son definiciones equivalentes, pero me cuesta entender cómo. Es el $\rho$ en la tercera definición lo mismo que la acción de $G$ ¿en el segundo?

Es el $\rho$ en la primera definición la representación matricial de la $\rho$ en la tercera definición? (ya que todo mapa lineal tiene una matriz asociada).

A raíz de estos, también estoy confundido acerca de $G-$ homomorfismos espaciales y $G-$ mapas lineales.

A $\textbf{homomorphism of G-spaces}$ $f : V \rightarrow W$ es un mapa lineal tal que $f(gv) = gf(v), g \in G, v \in V$ .

Dejar $\rho_1 : G \rightarrow GL(V), \rho_2 : G \rightarrow GL(W)$ ser dos representaciones. Entonces un $\textbf{G-linear map}$ entre $\rho_1$ y $\rho_2$ es un mapa lineal $f : V \rightarrow W$ tal que $f\circ(\rho_1(g)) = \rho_2(g)\circ(f)$

No entiendo cómo estos son equivalentes tampoco? Gracias por cualquier ayuda.

Yanko

Puede ser relevante que todo espacio vectorial de dimensión finita sea isomorfo a

C^{n}

$\mathbb{C}^n$ así que una vez que elijas una base

G L (V)

$GL(V)$ y

G L_{n} (C)

$GL_n(\mathbb{C})$ son básicamente lo mismo.

maxime ramzi

¿Entiendes la equivalencia de las definiciones de acción de grupo: morfismos

G \to S X

$G\to \mathfrak{S}X$ o mapas

G \times X \to X

$G\times X\to X$ satisfaciendo algunos axiomas? Si lo haces, podría ser útil.

Respuestas (1)

Definiciones de representación equivalente

Puede ser relevante que todo espacio vectorial de dimensión finita sea isomorfo a $\mathbb{C}^n$ así que una vez que elijas una base $GL(V)$ y $GL_n(\mathbb{C})$ son básicamente lo mismo.
¿Entiendes la equivalencia de las definiciones de acción de grupo: morfismos $G\to \mathfrak{S}X$ o mapas $G\times X\to X$ satisfaciendo algunos axiomas? Si lo haces, podría ser útil.

monstruoso · Answer 1

Bosquejo:

" $2\Rightarrow 3$ " Dejar $g\cdot v$ ser una acción de grupo en $V$ . Induce un homomorfismo de grupo. $\rho: G\to GL(V)$ . Para $g\in G$ el mapa lineal $\rho(g):V\to V$ es dado por $\rho(g)(v)=g\cdot v$ .

" $3\Rightarrow 2$ " Para una dada $\rho: G\to GL(V)$ homomorfismo definimos la acción del grupo $(g,v)\mapsto \rho(g)(v)$ en $V$ . Recuerda eso $\rho(g)$ es un mapa lineal $V\to V$ entonces $\rho(g)(v)$ tiene sentido.

Por supuesto, debe completar todos los detalles, a saber, que (a) estas construcciones son correctas, (b) $G$ -el homomorfismo son equivalentes y que (c) la composición de ambas construcciones da identidad. O dicho de otro modo que esta construcción es funcional y ambos funtores son inversos entre sí.

Finalmente (1) es equivalente a (3) porque $GL_n(k)\simeq GL(k^n)$ mediante la representación matricial de un mapa lineal. Y todo espacio vectorial de dimensión finita es isomorfo a $k^n$ para algunos $n$ . Tenga en cuenta que esto tiene sentido solo en el caso de dimensión finita.

Definiciones de representación equivalente

el hombre

Yanko

maxime ramzi

Respuestas (1)

monstruoso

Si una matriz simétrica conmuta con todas las matrices simétricas, ¿es entonces un múltiplo de la identidad?

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