Pregunta sobre el primer lema de Schur

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Pregunta sobre el primer lema de Schur

vectores
Matemáticas
espacios vectoriales
teoría de la representación
solución-verificación
valores propios-vectores propios

RESPLANDOR

De mis notas escritas (a propósito, no escritas a través de Mathjax esta vez), tengo una prueba para el primer lema de Schur:

Mi única pregunta es con respecto a la parte con un círculo rojo, el autor afirma que para cualquier $\vec y$ tal que

\underline{\underline{METRO}} \vec{y} = λ \vec{y}

$\underline{\underline{M}}\vec y=\lambda \vec y$ lo que implica inmediatamente que la matriz,

\underline{\underline{M}}

$\underline{\underline{M}}$ es proporcional a la matriz unitaria

\underline{\underline{I}}

$\underline{\underline{I}}$ .

Pero del álgebra lineal, me enseñaron que en general:

\underline{\underline{METRO}} \vec{y} = λ \vec{y} ⟹ (\underline{\underline{METRO}} - λ \underline{\underline{I}}) \vec{y} = \vec{0}

$\underline{\underline{M}}\vec y= \lambda \vec y\implies \big(\underline{\underline{M}}-\lambda \underline{\underline{I}}\big)\vec y=\vec 0$

La prueba (en la imagen) anterior establece que para esta construcción, $\underline{\underline{M}}\propto \underline{\underline{I}}$ .

Pero, puedo encontrar una matriz. $\underline{\underline{M}}$ , que no es proporcional a la matriz unitaria para arbitraria $\vec y$ , aquí hay un ejemplo: considere $\underline{\underline{M}}=\begin{pmatrix}5&-1\\-1&5\\ \end{pmatrix}$ . Lo cual, se puede resolver por el método de $\mathrm{det}\big(\underline{\underline{M}}-\lambda \underline{\underline{I}}\big)=0$ , y si se lleva a cabo este método se puede demostrar que existe un valor propio $\lambda=4$ con vector propio $\vec y_1=c_1\begin{pmatrix}1\\1\\ \end{pmatrix}$ dónde $c_1 \ne 0$ , y un valor propio $\lambda=6$ con vector propio $\vec y_2=c_2\begin{pmatrix}-1\\1\\ \end{pmatrix}$ dónde $c_2 \ne 0$

Sé que estoy trabajando en $\mathbb{R}^2$ y el autor estaba trabajando en $\mathbb{C}^n$ , pero el punto es que he encontrado una matriz, $\underline{\underline{M}}$ que no es proporcional a la matriz unitaria (para arbitraria $\vec y$ ). Pero según la prueba del autor, no debería poder encontrar esa matriz. Entonces, ¿cuál es el problema aquí?

Respuestas (2)

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D_S · Answer 1

Tienes razón en que hay matrices. $M$ que no son proporcionales a la matriz unitaria. La prueba que incluiste muestra que si $D(g)M = MD(g)$ para cada $g$ , entonces $M$ no puede ser una matriz como

(\begin{matrix} 5 & - 1 \\ - 1 & 5 \end{matrix}) .

$\begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}.$

En cambio, $M$ DEBE verse como $\lambda I$ para algún escalar $\lambda$ . ¿Por qué? Porque en la prueba, muestran que si $Mx = \lambda x$ para ALGUNOS vectores distintos de cero $x$ , entonces de hecho $Mx = \lambda x$ para CADA vector $x$ . Esto obliga $M$ tomar la forma $\lambda I$ .

usuario17945 · Answer 2

La respuesta de D_S es completamente correcta. Solo quería agregar algunos puntos adicionales que eran demasiado largos para caber en un comentario.

El diseño y la redacción de la prueba en sus notas es muy confuso, diría yo. Aquí hay un breve resumen de cómo va la prueba:

(i) $M$ tiene al menos un vector propio, con valor propio $\lambda$ . Este es un resultado estándar del álgebra lineal.

(ii) el $\lambda$ -espacio propio $E_\lambda\subset\mathbb{C}^n$ (es decir, el conjunto $E_\lambda = \{x\in\mathbb{C}^n \mid Mx = \lambda x\}$ ) es un subespacio vectorial real. Este también es un resultado estándar, por lo general no probado como parte del lema de Schur, aunque lo demuestra arriba. Es un poco incorrecto decir que los vectores propios correspondientes al valor propio $\lambda$ forman un subespacio, ya que los vectores propios por definición deben ser distintos de cero, mientras que $E_\lambda$ también contiene el vector cero.

(iii) $E_\lambda$ es $G$ -invariante. Esto es cierto ya que si $x\in E_\lambda$ , es decir $Mx=\lambda x$ , entonces para cualquier $g\in G$ , $MD(g)x = D(g)Mx = D(g)(\lambda x) = \lambda (D(g)x)$ , lo que implica que $D(g)x\in E_\lambda$ también. Tenga en cuenta que en realidad nunca dice que este subespacio es invariante / $G$ -invariante en su prueba.

(iv) desde $D$ es irreducible, los únicos subespacios invariantes de $\mathbb{C}^n$ son $\{0\}$ y $\mathbb{C}^n$ . Lo sabemos $E_\lambda\ne\{0\}$ (ya que hay al menos un vector propio correspondiente a $\lambda$ , y este vector es distinto de cero por definición). Por lo tanto debemos tener eso $E_\lambda = \mathbb{C}^n$ . Esto implica que en realidad $M = \lambda I$ .

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RESPLANDOR

Respuestas (2)

D_S

usuario17945

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