Definición matemática de frente de onda en el caso de ondas no armónicas

Una onda progresiva es una función de espacio y tiempo donde la dependencia del espacio y el tiempo puede ser modelada por una función de una variable, compuesta con una función de "argumento", que combina espacio y tiempo y describe la geometría de la onda. Los frentes de onda son los lugares donde la función "argumento" es constante.

Pongamos algunos ejemplos.

Onda plana

Si$A(\vec r,t)$es una onda plana de velocidad$c$propagándose en la dirección del vector unitario$\vec u$, se puede expresar como$A(\vec r,t)=f(\vec r·\vec u-ct)$. Lo que llamo la función "argumento" es el argumento de$f$, a saber$\vec r·\vec u-ct$. El frente de onda está definido por$\vec r·\vec u-ct=\text{const.}$, que de hecho es un plano (ortogonal a$\vec u$) moviéndose a gran velocidad$c$.

Onda esférica

Si$B(\vec r,t)$es una onda esférica de velocidad$c$, cuya fuente se encuentra en$\vec r=\vec 0$, se puede expresar (por ejemplo) como$B(\vec r,t)=g(r-ct)/r$. La función "argumento" aquí es$r-ct$(no$1/r$, que solo describe el decaimiento de la amplitud en el espacio). El frente de onda se define así por$r-ct=\text{const.}$, que de hecho es una esfera (centrada en$\vec r=\vec 0$) de radio creciendo a velocidad$c$.

Otras olas

Siempre que la onda sea progresiva, en principio se puede poner bajo la forma$a(r)×f(w(\vec r,t))$dónde$a$describe la amplitud en el espacio,$f$es la forma de onda, y$w$es la función "argumento" que describe la propagación.

Como puede ver, no hice ninguna hipótesis sobre la forma de onda . “Armónico” se refiere a la forma de$f$o$g$arriba, es decir, deben ser funciones sinusoidales, no a la geometría frontal. Este último, como cualquier lugar geométrico, está dado por una ecuación como$w(\vec r,t)=\text{const.}$