¿Cuál es la definición matemática general de onda?

Las olas son fenómenos del mundo real. Para proporcionar la definición más general de ondas desde el punto de vista matemático, se debe comenzar con una lista cuidadosa de todas las propiedades físicas compartidas por todos los fenómenos que queremos llamar "ondas". No estoy seguro de que exista una lista completa, pero, teniendo en cuenta un gran conjunto de fenómenos lineales y no lineales bien conocidos clasificados como ondas, diría que una definición matemática bastante amplia y general de la mayoría de las ondas físicas podría ser: cualquier fenómeno que puede ser descrito por la solución de una ecuación diferencial parcial de tipo hiperbólico , en la mayoría de los casos de segundo orden en el tiempo ; es decir, una ecuación diferencial parcial para una función$f(\vec{r},t)$(dónde$\vec{r}$es un punto de "espacio" en un$n-$espacio de configuración dimensional), tal que tiene un problema de valor inicial bien planteado del tipo:

$$f(\vec{r},t=0)=\phi_0(\vec{r})\\ \frac{\partial{f}}{\partial{t}}(\vec{r},t=0)=\phi_1(\vec{r})$$ eran$\phi_0$y$\phi_1$se dan funciones.

Observe que la ecuación de onda lineal habitual de d'Alembert

$$\frac{\partial^2{f}}{\partial{t}^2}=v^2\nabla^2{f}$$ es un caso muy especial de ecuación hiperbólica, que deja fuera demasiados fenómenos ondulatorios (ondas dispersivas y/o amortiguadas, ondas no lineales, incluidos los solitones, ondas de probabilidad mecánica cuántica, etc.).

Se requiere una palabra de precaución para algunos fenómenos como las ondas de choque, cuya descripción también puede basarse en pde hiperbólica, pero en los mismos casos son posibles otras descripciones que no usan pde.