Definición de un complejo geométrico simplicial

¡Buena pregunta! En términos del conjunto/forma real en$\mathbb{R}^n$, no hay diferencia, como dices. Y podrías hacer lo de "simple abierto", incluyendo todos los límites como simples simples abiertos de menor dimensión, para deshacerte de las repeticiones, sin cambiar la unión de todos ellos. Pero permítanme argumentar a favor de la definición del libro de texto.

No sé mucho sobre esto, pero una razón clara para (a) y (b) desde mi punto de vista es la correspondencia entre los hechos sobre la realización geométrica del complejo simplicial y los hechos sobre el objeto combinatorio . $\mathcal{K}$. Hay muchas propiedades topológicas de la realización geométrica.$|\mathcal K|$que se puede calcular o comprobar simplemente conociendo el conjunto$\mathcal K$junto con la estructura de subconjunto/intersección, olvidando que cada elemento alguna vez tuvo geometría. Un ejemplo notable: la homología simplicial parece muy simple en comparación con otras teorías de homología (por ejemplo, la homología singular), y concuerda con las demás. Eso es bastante sorprendente, y también ayuda a desarrollar la intuición en el tambaleante mundo de la topología cuando puede tomar un objeto geométrico razonable sobre el que desea aprender, reducirlo a un objeto combinatorio aparentemente mucho más simple y hacer cálculos allí (este tipo de las historias son algunas de mis partes favoritas de las matemáticas). Estas correspondencias dependen de estos dos axiomas (a) y (b) en el lado combinatorio de la historia. Son los datos que necesita conservar para poder estudiar la topología (homología, en particular) de$|\mathcal K|$combinatoriamente.

El objetivo de un complejo simplicial es crear una estructura combinatoria que uno pueda analizar en lugar de un espacio geométrico. Si fueras a romper$K$arriba en$K^0,K^1,\dots,K^N$con cada$K^k$que contiene todos los$k$-simples de$K$, entonces conociendo solo el mapa$\partial:K^{k+1}\to \mathcal{P}(K^{k})$que lleva un símplex a sus caras límite permite construir una realización geométrica. No necesita saber nada sobre los simples en sí mismos, solo cómo se "pegan" entre sí. (Nota:$K$y el$K^k$contienen las simplificaciones como elementos y no como subconjuntos).

Entonces, para (a), una parte es que sin esta condición no puede construir de manera confiable una realización geométrica solo a partir de los datos proporcionados por$\partial$, y otra es que incluso si fuera confiable para un particular$K$, siempre puede reemplazarlo con el máximo único$K$que contiene todas las caras límite ("ya que puedes, debes" no es raro en las definiciones matemáticas). En la práctica, puede describir un complejo simplicial con menos información que la requerida por la definición completa.

Para su segunda pregunta, es natural usar simplicidades cerradas en la forma en que se usan los espacios de cociente para construir realizaciones geométricas. La forma en que los límites coinciden da la identificación particular. Sin embargo, tiene razón en que para esta definición particular de complejo simplicial (como un subespacio real de$\mathbb{R}^N$) puede usar simples abiertos --- pero debe incluir algo así como el cierre de la$(k+1)$-el esqueleto se encuentra dentro del$k$-esqueleto, como la definición de una descomposición CW de un espacio.

Voy a dar una respuesta a estas dos preguntas utilizando algunos conocimientos de topología algebraica, porque siento que es donde entra en juego el poder real de los complejos simpliciales y sus diversas propiedades.

Para la primera pregunta haría la siguiente contrapregunta, ¿por qué querrías distinguir entre el simplex estándar y la unión de todas sus caras? Tome esta analogía, considere cualquier conjunto$X$, entonces$X$es una unión de todos los puntos de$X$, ¿querríamos distinguir entre$\bigcup_{p \in X} \{p\}$y$X$?

De hecho, cuando aprendí sobre los simples, descubrí que el hecho de que un simplex era la unión de todas sus caras era realmente útil e intuitivo, esto es particularmente bueno porque si se nos da, digamos, un$k$-complejo simplicial$B$podemos mirarlo$n$-esqueleto que intuitivamente es el conjunto de simples de dimensiones menores o iguales a$n$sentado dentro$B$.

El$k$-esqueleto de la$n$complejo simple dimensional$K$resulta ser solo el complejo simplicial$K$en sí mismo que es agradable pero también útil$(*)$. Usando la homología simplicial, los esqueletos de un complejo simplicial en realidad nos brindan mucha información sobre el espacio topológico (la realización geométrica del complejo simplicial) con el que estamos trabajando.

Así que permítanme dar un ejemplo rápido para mostrar por qué$(*)$es útil. Digamos que tenemos un espacio topológico$X$, con triangulación un complejo simplicial$K$de dimensión$n$y otro espacio topológico$Y$con triangulación un complejo simplicial$L$de dimensión$m$. digamos que$m < n$, entonces$H_{m+1}(Y) = 0$pero puede darse el caso de que$H_{m+1}(X) \neq 0$y si ese es el caso, dado que los grupos de homología de un espacio topológico son una invariante del espacio topológico, debido a que los grupos de homología de estos dos espacios topológicos no son isomorfos, los dos espacios topológicos$X$y$Y$no son homeomorfos.

Ahora, si hubiéramos hecho la distinción que dijiste, este no sería necesariamente el caso, la razón es que el$m$-esqueleto de$L$no sería lo mismo que$L$y así la realización geométrica de la$m$-esqueleto (que es$|L|$en realidad) no sería necesariamente homeomorfo a$Y$, y entonces no necesariamente obtendríamos$H_{m+1}(L) \cong H_{m+1}(|L|) = H_{m+1}(Y)$por lo que no seríamos capaces de concluir que$H_{m+1}(Y) = 0$lo que básicamente arroja un muy buen resultado de homología simplicial.

Para la segunda pregunta, creo que lo primero que perderíamos es la compacidad de los simples. Usando la definición convencional, todas las superficies conectadas compactas, como el toro$\mathbb{T}$, plano proyectivo real$\mathbb{RP}^2$, el$2$-esfera dimensional$\mathbb{S}^2$, son complejos simpliciales, lo que significa que se pueden construir a partir de simples. Sin embargo, utilizando la definición propuesta, puede que no sea el caso de que estos espacios topológicos muy importantes terminen siendo complejos simpliciales.

Esto es un gran problema porque la maquinaria de la homología simplicial se desarrolló esencialmente para calcular la homología de los complejos simpliciales y, de hecho, ayudarnos a decir cuáles de estos espacios son diferentes entre sí (es decir, a decir cuáles de estos espacios no son homeomorfos entre sí) .

1) Las condiciones a) yb) son una especie de definición del complejo simplicial. Si los sueltas, vuelves a tener una colección de simples. Esto puede ser útil, pero no necesita definir un complejo simplicial cuando necesita un conjunto de simples.

2) Eso está relacionado con la pregunta, por qué definimos un complejo simplicial y no solo usamos un conjunto de simples (posiblemente abiertos).

Un ejemplo para el uso de complejos simpliciales es el Cálculo Exterior Discreto . El DEC utiliza un complejo simplicial junto con formas diferenciales para definir operadores diferenciales discretos. En el DEC, el diferencial se define utilizando el teorema de Stoke:$\int_\Omega \text{d}\omega = \int_{\partial\Omega} \omega$.

Y cuando$\Omega$es un subconjunto del$K_2$sceleton (es decir, el conjunto de 2-simples) de su complejo, entonces$\partial \Omega$es un subconjunto del$K_1$sceleton Por la definición del complejo usando a) y b), el operador de límite discreto$\partial$para un conjunto de triángulos y aristas es solo la matriz de adyacencia entre triángulos y aristas en el complejo.

Eliminando a), no tendría los límites en su complejo en absoluto y eliminando b) tendría un conjunto abierto para cada triángulo, que por definición no incluye el límite.

Para resumir: un complejo simplicial es una definición útil para diferentes aplicaciones. Es posible que desee utilizar otra definición para su aplicación, pero entonces usar el nombre complejo simplicial puede ser engañoso.