Definición de producto interior como en el caso del trabajo

No estoy seguro de si afirmas que$F$y$dx$La mentira en diferentes espacios vectoriales se deriva del hecho de que uno es infinitesimal y el otro no, o que tienen diferentes unidades físicas y, por lo tanto, no se pueden sumar. Si es lo primero, entonces podemos considerar una integral de línea como un límite de sumas de productos punto de vectores no infinitesimales.

Si es lo último, entonces podemos abordar el mismo problema sin necesidad de considerar la complicación de los espacios vectoriales preguntando por qué podemos multiplicar dos cantidades escalares con diferentes unidades, aunque no se pueden sumar y, por lo tanto, no (obviamente) se encuentran en el mismo campo (en el sentido de álgebra abstracta de la palabra). Formalizar matemáticamente el análisis dimensional elemental es en realidad sorprendentemente no trivial: Terry Tao tiene un buen tratamiento aquí .

La respuesta "rápida y sucia" es que cuando piensas en la estructura formal matemática/abstracta-algebraica del espacio de valores posibles para una cantidad física, te olvidas de las unidades y tratas todo como adimensional. (Por ejemplo, usted piensa que los tres vectores viven en$\mathbb{R}^3$, independientemente de sus unidades físicas.) Luego, declara operaciones que no tienen sentido dimensional como "físicamente inválidas" a pesar de que son perfectamente legítimas desde una perspectiva matemática formal. "Codificar" las restricciones dimensionales en el conjunto de operaciones permitidas directamente en la estructura matemática formal suele ser mucho más esfuerzo de lo que vale.

(Un último comentario, que va significativamente más allá del alcance de su pregunta, así que siéntase libre de ignorarlo. El enfoque "dimensional" se vuelve realmente molesto en el formalismo del operador de la mecánica cuántica, porque en ese caso la multiplicación escalar por un "escalar" dimensional en realidad lleva formalmente un vector a otro vector en un espacio de Hilbert diferente (aunque isomorfo). Esto significa que los "operadores" lineales correspondientes a observables dimensionales en realidad no son operadores en absoluto, sino mapas lineales entre diferentes espacios de Hilbert. La ecuación inocua$\hat{H} |\psi\rangle = E |\psi\rangle$es solo una ecuación de valor propio directa en el formalismo "adimensional", pero es una generalización teórica de categorías mucho más sutil de la ecuación de valor propio en el formalismo "dimensional", en la que no se puede sumar$|\psi\rangle + E |\psi\rangle$. Confía en mí, a veces el rigor matemático simplemente no vale la pena).

si consideras$F$y$dx$como en diferentes espacios vectoriales, se está entrando en la región de la Geometría Diferencial. Aquí la cosa es más complicada, ya que los vectores se definen como el elemento del espacio tangente definido en cada punto de la variedad, y para comparar vectores en diferentes puntos hay que definir una regla (que es el transporte paralelo), que a su vez está definida por una derivada covariante.

Sin embargo, en tu ejemplo,$\vec{F}=(F_x,F_y,F_z)$y$d\vec{x}=(dx,dy,dz)$para que puedan ser pensados ​​como pertenecientes a$\mathbb{R}^3$, y el '$\cdot$El producto (punto) es simplemente el habitual.

EDITAR::

!¡Atención! Atrocidad matemática entrante

Se considera el Trabajo como una función:

Entonces puedes pensar en el campo vectorial$\vec{F}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$como:

y entonces puedes pensar en$dW$como este$\vec{F}\cdot d\vec{x}$. Pero claramente este producto escalar no está tan bien definido si consideras el significado real del símbolo.$d\vec{x}$($dW$es una forma diferencial).

Rigor Matemático

Si queremos ser más precisos, el trabajo realizado por un campo externo$\vec{F}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$a lo largo de un camino$\gamma\subset\mathbb{R}^3$que está parametrizado por$\phi:[a,b]\to\gamma$, es la siguiente integral de línea de segunda clase:

Supongo que te refieres al hecho de que pertenecen a diferentes espacios vectoriales porque tienen diferentes unidades. La dificultad con la que te encuentras es solo una indicación de un inconveniente en el conjunto de definiciones y fundamentos de las matemáticas que actualmente son populares. Para entender esto, puede ser útil mirar la historia.

1. Algo así como lo que hoy definimos como un espacio vectorial fue definido por primera vez por Peano en 1888.

2. Los vectores, incluidas las palabras "vector" y "escalar", fueron definidos por Gibbs alrededor de 1888, como una forma de simplificar el sistema de cuaterniones para sus estudiantes de Yale.

3. La definición moderna de los físicos de un vector, que implica sus propiedades de transformación, se estandarizó ca. 1930-1950.

4. La teoría de conjuntos fue moldeada en algo parecido a su forma actual por ZFC en 1908-1922.

Tenga en cuenta que todos estos desarrollos realmente ocurrieron durante un período de muchos años, no en fechas específicas, por lo que lo que realmente tenemos es un conjunto superpuesto de períodos de tiempo, con personas que trabajan de forma independiente y no necesariamente producen sistemas consistentes.

Las nociones básicas que realmente necesitamos para hacer álgebra lineal son algebraicas, es decir, hechos esencialmente sintácticos, por ejemplo, la propiedad$(a\textbf{u})\cdot\textbf{v}=a(\textbf{u}\cdot\textbf{v})$. Cuando miras un axioma como este y luego lo aplicas, no importa si los objetos$a$,$\textbf{u}$, y$\textbf{v}$pertenecen a determinados conjuntos. La noción de conjunto vino después de la noción de espacio vectorial. El hecho de que las personas de hoy en día usen ZFC como base y definan cosas como espacios vectoriales en términos de operaciones en algún conjunto no significa que deba hacerse de esa manera, históricamente se hizo de esa manera o siempre es conveniente hacerlo de esa manera. .

Entonces, por ejemplo, suponga que un objeto comienza en reposo y es acelerado por una fuerza constante$\textbf{F}$, así que eso$\textbf{F}=(2m/t^2)\textbf{x}$. Las identidades que definen las propiedades del producto interior tienen la misma forma sintáctica, y por tanto conducen a los mismos resultados, independientemente de que no tendría sentido hablar de$\textbf{F}+\textbf{x}$. Puedes encontrar el trabajo realizado por esta fuerza, y mientras lo haces, puedes usar libremente la identidad$(a\textbf{u})\cdot\textbf{v}=a(\textbf{u}\cdot\textbf{v})$.

Si lo desea, puede describir las fuerzas y los desplazamientos como diferentes espacios vectoriales con alguna maquinaria para conectarlos de modo que pueda hacer productos escalares, o si lo desea, puede pensar que ambos pertenecen a algún tipo de espacio que tiene algo prohibido. operaciones, como no poder hacer algunas adiciones. No importa cuál de estos hagas, y en la práctica nadie hace nada como esto formalmente.

Tenga en cuenta también que la definición de un físico de un vector es más restrictiva que la de un matemático, por ejemplo, si forma un par ordenado que consta de$(S,q)$, donde$S$es el valor actual del índice bursátil S&P 500, y$q$es una carga eléctrica, entonces para un matemático, este es un vector que vive en algún espacio vectorial, pero para un físico esto no es un vector en absoluto, porque no se transforma como vector.

Si te refieres a que tienen diferentes dimensiones físicas ($[F] = MLT^{-2}$y$[dx] = L$) y unidades, entonces podemos pensar que los dos espacios son lo que podría llamarse "espacios vectoriales etiquetados". Tales pueden verse como tuplas de un espacio vectorial y una etiqueta (por ejemplo, una unidad), como$\langle \mathbb{R}^3, \mathrm{N} \rangle$y$\langle \mathbb{R}^3, \mathrm{m}\rangle.$Denotaré elementos en estos espacios también como valores etiquetados, por ejemplo$\langle f, \mathrm{N} \rangle,$donde$f \in \mathbb{R}^3.$

La suma solo está permitida dentro de un espacio vectorial etiquetado y está definida por$\langle u_1, \text{tag} \rangle + \langle u_2, \text{tag} \rangle = \langle u_1+u_2, \text{tag} \rangle.$

Multiplicación (de algún tipo) de dos vectores$\langle u, \mathrm{u} \rangle$y$\langle v, \mathrm{v} \rangle$se permite si la multiplicación de$u$y$v$está permitido, y se define como$\langle u, \mathrm{u} \rangle * \langle v, \mathrm{v} \rangle = \langle u*v, \mathrm{u}\mathrm{v} \rangle.$Aquí$\mathrm{u}\mathrm{v}$es un producto de unidades, por lo que el conjunto de unidades debe ser monoide .

Excelente pregunta. De hecho, diría que la fuerza no es un vector espacial, sino un vector dual . Específicamente, un vector cotangente . El espacio cotangente en un punto$p$se define como el espacio de funcionales lineales en el espacio tangente en ese punto, es decir$F(p) \in T_p^\ast M$se puede utilizar como un mapa lineal

En ese sentido, esto no es tanto la multiplicación escalar con lo que estamos tratando, sino solo la aplicación de funciones.

¿De dónde vienen estos funcionales lineales ? Bueno, tomando el punto de vista de que la conservación de la energía es el principio más fundamental, podríamos decir que el potencial de un campo conservativo es la configuración prototípica para que surja la fuerza (mientras que las fuerzas no conservativas son emergentes, ya sea por fricción, etc., que simplemente mueve la energía a microestados). , o montajes mecánicos artificiales). Bajo esa luz, la fuerza se definiría como el gradiente del potencial:

Todo esto funciona sin problemas, pero donde se pone interesante es cuando consideramos que la fuerza en la práctica también parece tener rasgos de un vector espacial. Es decir, apunta en una dirección determinada . Entonces, tenemos cierta correspondencia entre las naturalezas de vector dual y vector de$F$. Esta correspondencia es el operador estrella de Hodge . Es esencialmente una aplicación del teorema de representación de Riesz , que en mi opinión es uno de los resultados más importantes y subestimados necesarios para mucha física.

Pensando en esto en el caso finito, sin tratar con infinitesimales, tienes$F\cdot \Delta x$. Ambos vectores en este producto interno viven en el mismo espacio, a saber$\mathbb{R}^3$en el espacio tridimensional habitual, al menos hasta un isomorfismo.