Magnitud de cantidades vectoriales

La formula

$$F_G = - G \frac{M m}{r^2}$$ es correcto. El signo menos representa el hecho de que la fuerza gravitacional es atractiva.

Hay un pequeño error en su cálculo de$W_G$, cuando sustituyes$F_G$con su fórmula. La fórmula para$F_G$contiene un signo menos que debería haber cancelado el menos antes de la integral:

$$- \int_{r_1}^{r_2} F \ \mbox{d}r = \int_{r_1}^{r_2} G \frac{M m}{r^2} \ \mbox{d}r$$ También supongo que, ya que usaste$\cos(180°)$, usted está considerando el caso donde$r_2$>$r_1$.

De esto se deriva que

$$W_G = GMm \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$$ y esto sí que es positivo, porque se necesita energía para separar dos objetos que se atraen.

Para una fuerza conservativa, como la fuerza gravitatoria o la fuerza elástica, el trabajo también se define como$W = - \Delta U$, dónde$Delta U$es el cambio en la energía potencial. Observe el signo menos aquí. Hay una razón para ello. El trabajo, como dije anteriormente, es la energía necesaria para ir de un lugar a otro. Es positivo cuando necesitas dar energía y negativo cuando obtienes energía (generalmente energía cinética). El potencial por otro lado tiene una interpretación diferente, es un componente de la energía que posee un objeto.

Dado que normalmente nos interesa la diferencia de energía potencial y no su valor absoluto, tenemos cierta libertad para elegir cuándo la energía potencial es 0. Por lo general, para el caso gravitatorio se elige 0 como la energía potencial a una distancia infinita, mientras que para la funda elástica está en posición de reposo ($x = 0$).

Así que si

$$W_G = G \frac{M m}{r_1} - G \frac{M m}{r_2}$$ y $$W_G = - \Delta U = U(r_1) - U(r_2)$$ obtenemos que $$U(r) = - G \frac{M m}{r}$$ No es necesario cambiar el signo de$F$. Y el mismo principio se aplica a la funda elástica.

No proporcionaría la derivación completa para la expresión de energía potencial de un sistema, pero me gustaría darle el razonamiento correcto para los signos que deben tenerse en cuenta al derivar las expresiones de energía potencial. Considere la definición a continuación que puede ayudarte: -

El cambio en la energía potencial de un sistema se define como el trabajo negativo realizado por las fuerzas conservativas internas del sistema .

El signo negativo afectará algunas ecuaciones que publicaste.

Entonces, ¿debo usar siempre la expresión de la magnitud sin el signo negativo porque la dirección de la fuerza solo debe considerarse "más tarde" en el sentido de que el signo negativo no debe ser parte de la magnitud?

La respuesta es sí, solo recuerda la magnitud sin signo negativo como negativo, solo sugiere dirección y dice que es fuerza de atracción. Entonces, en toda la física para entender fácilmente, nunca pongas negativo delante de las magnitudes, ya que solo sugieren dirección.