Definición canónica del integrando en la teoría planar N=4 SYMN=4 SYM\mathcal{N}=4 \ \mathrm{SYM}

Según la página 101 de Amplitudes de dispersión (Elvang, Huang), se pueden utilizar las variables de zona y para definir un integrando único, en el caso plano.

Esto se hace diciendo que la cantidad de movimiento asociada a una línea interna es y a − y b dónde y a y y b son la variable de zona asociada a las dos zonas adyacentes a la línea particular.

En este esquema, ¿es necesario idear también un esquema para etiquetar canónicamente las variables de la zona interior, con el fin de obtener una función integrando bien definida?

Para aclarar, si se considera una integral de doble caja, y se intercambian las dos variables de zona asociadas a las caras internas, se obtienen dos contribuciones diferentes al integrando. De hecho, habrá dos líneas internas cuyos propagadores son ( y 4 − y a ) − 2 ( y 2 − y b ) − 2 que no es la misma función si uno intercambia a con b .

Respuestas (1)

Buena pregunta. La respuesta es que uno siempre puede (completamente) simetrizar el integrando con respecto a L ! variables de bucle. Por ejemplo, los dos bucles

   1             2
    \     x1    /
     \_________/
     |    |    |
  x4 | y1 | y2 | x2
     |____|____|
    /          \
   /      x3    \
  4              3

la integral en coordenadas duales es (el numerador se elige de modo que la integral sea dualmente invariante conforme):

∫ d 4 y 1 d 4 y 2 2 ! ( X 1 − X 3 ) 4 ( X 2 − X 4 ) 2 ( y 1 − X 3 ) 2 ( y 1 − X 4 ) 2 ( y 1 − X 1 ) 2 ( y 2 − X 1 ) 2 ( y 2 − X 2 ) 2 ( y 2 − X 3 ) 2 ( y 1 − y 2 ) 2 + ( y 1 ↔ y 2 )

La gente suele escribir estas integrales en variables impulso-torbellino. Como recordarán, a cada una de las variables del bucle y i hay un par asociado de twistores ( Z A i , Z B i ) . La integral anterior resulta ser

∫ ( A 1 B 1 , A 2 B 2 ) ⟨ 1234 ⟩ 2 ⟨ 2341 ⟩ ⟨ A 1 B 1 41 ⟩ ⟨ A 1 B 1 12 ⟩ ⟨ A 1 B 1 23 ⟩ ⟨ A 2 B 2 23 ⟩ ⟨ A 2 B 2 34 ⟩ ⟨ A 2 B 2 41 ⟩ ⟨ A 1 B 1 A 2 B 2 ⟩ ,
dónde ( A 1 B 1 , A 2 B 2 ) significa que la medida de integración tiene un factor de 1 2 ! en ella de la simetrización ( A 1 B 1 ↔ A 2 B 2 ) .

Definición canónica del integrando en la teoría planar N=4 SYMN=4 SYM\mathcal{N}=4 \ \mathrm{SYM}
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