¿Debe una ecuación contener al menos una variable? ¿Podemos llamar a 1+1=2 una ecuación?

La definición en Wikipedia es inusual y no coincide con el uso habitual del término "ecuación" por parte de los matemáticos. Los matemáticos usan regularmente el término "ecuación" para referirse a cualquier afirmación de que dos cosas son iguales escritas con el símbolo$=$, independientemente de si hay variables involucradas. Por lo general, se usa como un término informal, pero se le pueden dar definiciones formales precisas en varios entornos. No conozco ninguna definición formal precisa que requiera que haya al menos una variable.

Recopilé diferentes definiciones de diferentes referencias y traté de averiguar si 1+1=2 satisface todas las condiciones para llamarse ecuación de acuerdo con esa definición. ( Las definiciones y las URL se mencionan en la pregunta )

Todas las referencias anteriores, excepto Encyclopædia Universalis, se pueden usar para llamar a 1+1=2 una ecuación. El artículo de Encyclopædia Universalis menciona la presencia de 'una o más variables' en la igualdad para llamarla ecuación. Pero mientras continuaba leyendo el artículo sobre Encyclopædia Universalis, encontré otra declaración que puede usarse para contradecir su definición de la ecuación.

Una ecuación que es verdadera independientemente de los valores de las variables es una identidad.

También del Diccionario de Matemáticas, James y James, 5ª edición, página-147 :

Las ecuaciones son de dos tipos, identidades y ecuaciones condicionales (o generalmente simplemente "ecuaciones")".

Creo que a partir de las 2 referencias anteriores, es seguro decir que las identidades son un subconjunto de ecuaciones. Podemos llamar a las identidades ecuación pero no ecuación condicional ( a la que la mayoría de la gente simplemente se refiere como 'ecuación' y debe tener al menos una variable ). Todos conocemos la famosa Identidad de Euler ($e^{i\pi}=-1$) y no tiene variable. Wolfram Mathworld y el artículo de Wikipedia mencionaron la identidad de Euler como ecuación de Euler.

En matemáticas, la identidad de Euler (también conocida como ecuación de Euler)... --Wikipedia

$e^{i\pi}+1=0$una ecuación que conecta los números fundamentales i, pi, e, 1 y 0 (cero), las operaciones fundamentales +, × y exponenciación, la relación más importante =, y nada más. --Wolfram Mundo Matemático

También encontré otro artículo, Equations And The Equal Sign In Elementary Mathematics Textbooks , escrito por Sarah R. Powell y publicado en The Elementary School Journal en junio de 2012; 112(4): 627–648. El manuscrito está disponible en PubMed Central . Han usado la siguiente terminología de ecuaciones.

Una ecuación matemática es una ecuación con cero o una variable (p. ej., 9 = 6 + 3; 9 = x + 3), mientras que una ecuación algebraica es una ecuación con dos o más variables (p. ej., x − 3 = y).

Algunos pueden argumentar que podemos simplemente llamar a 1+1=2, una igualdad pero no una ecuación. Citaré la definición de Identidad del Diccionario de Matemáticas .

Igualdad: La relación de ser igual; la afirmación, generalmente en forma de ecuación, de que dos cosas son iguales.

Por lo tanto, la igualdad es la relación y, a menudo, la expresamos/escribimos como una ecuación. En mi opinión, ya sea llamarlo Igualdad o Ecuación, se trata del idioma inglés pero no de las Matemáticas.

_{También me ha gustado la idea de la verdad vacía de Eric Wofsey, publicada en uno de los comentarios. 1+1=2 también se puede considerar como una ecuación en la variable x, en la que x no aparece realmente.}

Buena pregunta. Una ecuación es básicamente cualquier expresión matemática que involucre el signo de igualdad.

Entonces

pero no es$1 + 5 = 6$tambien una ecuacion?

Encontré esto en la página de Wikipedia de Igualdad :

No existe una notación estándar que distinga una ecuación de una identidad u otro uso de la relación de igualdad: un lector tiene que adivinar una interpretación adecuada a partir de la semántica de las expresiones y el contexto. Se afirma que una identidad es verdadera para todos los valores de las variables en un dominio dado. Una "ecuación" a veces puede significar una identidad, pero más a menudo especifica un subconjunto del espacio variable para ser el subconjunto donde la ecuación es verdadera.

$1+1=2\;$es una igualdad. Es una relación que afirma que$\;1+1\;$es el mismo objeto que$\;2$. Esto siempre es cierto.$\;x=x\;$es una identidad porque el enunciado es verdadero para todos$x\in\mathbb{R}$. No hay confusión o duda sobre el valor de$x$, porque podría ser cualquier valor en$\mathbb{R}.$

Hay una diferencia importante entre "ecuación" e "igualdad".

$x^3=x+1\;$es una ecuación, ya que contiene variables (o incógnitas). no es cierto para todos$x\in\mathbb{R}$, por lo que hay una pregunta sobre el valor de$x$. Aquí tenemos el concepto de "solución" a una ecuación. No tiene sentido decir que la igualdad$\;1+1=2\;$tiene una "solución", porque para empezar es una declaración inmutable y siempre verdadera. Sin embargo, hay una solución para$\;x^3=x+1.\;$

Podrías considerar un enunciado como una ecuación si se le aplica el concepto de "solución".

EDITAR : Pregúntate por qué llaman$e^{i\pi}=-1$La identidad de Euler y no la ecuación de Euler.