¿Cómo se relaciona el grupo de Lorentz con el espín? [cerrado]

Representaciones de dos signos del grupo de Poincaré

Nótese que sobre el espacio de estados físicos se realizan representaciones proyectivas del grupo de Poincaré.

Es decir, por actuación de dos operadores unitarios del grupo de Poincaré podemos escribir que

$$\tag 1 U(\Lambda_{1})U(\Lambda_{2}) = e^{i\varphi (\Lambda_{1}, \Lambda_{2})}U(\Lambda_{1}\Lambda_{2})$$ dónde $\varphi (\Lambda_{1}, \Lambda_{2})$se llama la fase proyectiva. Ahí está la pregunta: ¿es posible redefinir los generadores $P_{\mu}, J_{\mu \nu}$(este último representa el álgebra del grupo de Lorentz) del grupo de Poincaré por lo que la fase desaparecerá de las relaciones de conmutación.

Existe un teorema que establece que las representaciones proyectivas pueden reducirse a las usuales si

1) El grupo simplemente está conectado;

2) Solo es posible tales soluciones para las fases.$\varphi$por lo que pueden ser completamente adsorbidos por redefinición de generadores (las fases deben satisfacer condiciones de asociatividad para operadores e identidad de Bianchi para generadores).

El grupo de Poincaré satisface la segunda condición, pero existe el problema con la primera. Realmente, se puede demostrar que el grupo de Lorentz (su subgrupo apropiado) es simplemente

$$\text{SO}^{\uparrow}(3,1) \simeq \text{SL}(2,C)/Z_{2}$$ A continuación, la topología de $\text{SL}(2,C)$es igual a la de $SU(2)\times SU(2)$, cual es $S_{3}\times S_{3}$. Primer grupo de homotopía de $S_{3}\times S_{3}/Z_{2}$no es cero, y el grupo está doblemente conectado. Por analogía cercana, el grupo de Poincaré tiene una topología de $R^{4}\times S_{3}\times S_{3}/Z_{2}$(solo tiene que agregar un espacio de grupo de traducción abelian $R^{4}$), que nuevamente es doblemente conexo.

Esto lleva a afirmar que la fase sólo puede ser$\pm 1$. Entonces$(1)$toma la forma

$$\tag 2 U(\Lambda_{1})U(\Lambda_{2}) = \pm U(\Lambda_{1}\Lambda_{2}),$$ y tenemos el enunciado de que hay realización de representaciones grupales de dos signos de Poincaré (Lorentz) sobre estados físicos.

Para evitar cuidar$\pm$firmar, podemos simplemente extender el grupo de Lorentz a$\text{SL}(2,C)$, como has mencionado.

Tu pregunta especial

El elemento anterior de mi respuesta (El grupo de Lorentz y el giro) es necesario,

Entonces, respondamos a su pregunta usando las cosas discutidas anteriormente. Como mencionó ACuriousMind en la sección de comentarios, no hay isomorfismo

$$\text{SO}(3,1)\simeq \text{SU}(2)\times \text{SU}(2)$$ Sin embargo, hay isomorfismo $$\text{SO}(3,1) \simeq \text{SL}(2,C)/Z_{2} \simeq \text{SU}(2)\times \text{SU}(2)/Z_{2}$$ Permítanme describir la manera simple de obtener la segunda igualdad, a saber, $$\text{SO}(3,1) \simeq \text{SU}(2)\times \text{SU}(2)/Z_{2},$$ ya que esto responderá a su pregunta.

Has partido de los generadores del grupo Lorentz, los impulsores,$K_{i}$y rotaciones,$R_{i}$. Satisfacen las relaciones de conmutación

$$[R_{i},R_{j}] = i\epsilon_{ijk}R_{k},\quad [K_{i},K_{j}] = i\epsilon_{ijk}R_{k},\quad [K_{i},R_{j}] = -i\epsilon_{ijk}K_{k}$$ Introduzcamos nuevos operadores, $$\tag 3 P^{\pm}_{i} =\frac{1}{2}(R_{i}\pm K_{i})$$ Forman el álgebra $$[P^{\pm}_{i}, P^{\pm}_{j}] = i\epsilon_{ijk}P_{k}, \quad [P_{i}^{\pm},P^{\mp}_{j}] = 0$$ Entonces $P^{+}, P^{-}$los generadores satisfacen $SU(2)$álgebra de grupos. Sin embargo, esto no significa que el grupo de Lorentz sea isomorfo a $SU(2)\times SU(2)$. Esto significa, en particular, que sólo la parte de $SU(2)\times SU(2)$Las representaciones son de $SO(3,1)$. Solo al usar el argumento de la primera sección de mi respuesta (hay representaciones de dos signos realizadas del grupo de Lorentz en los estados físicos) puede usar los irreps del grupo $\text{SU}(2)\times \text{SU}(2)$para clasificar los estados físicos.

Irreps de$SU(2)$están etiquetados con una etiqueta entera o semientera$\sigma$, y tiene dimensión$2\sigma + 1$, es decir, ellos los vectores

$$|s\rangle = \begin{pmatrix}s_{1}\\... \\s_{2\sigma+1}\end{pmatrix} : \quad \hat{C}|s\rangle = -\sigma(\sigma +1)|s\rangle ,$$ dónde $C$es el operador de Casimir para $SU(2)$grupo.

tan irresponsables de$SU(2)\times SU(2)$grupo puede ser etiquetado como$(\sigma_{1},\sigma_{2})$. Finalmente, de la definición tienes que

$$\frac{1}{2}(P^{+}_{i} +P^{-}_{i}) = R_{i},$$ dónde $R_{i}$es el generador de rotación (y la cantidad asociada es, por supuesto, el espín), y dado que $$\sum_{i}R_{i}^{2} = C^{2}= -S(S+1) = (\frac{1}{2}(P^{+}_{i} +P^{-}_{i}))^{2},$$ tienes eso $$C^{2} = -(\sigma_{1}+\sigma_{2}+1)(\sigma_{1}+\sigma_{2}) = S(S+1)$$ De esta igualdad se tiene que el giro de $(\sigma_{1},\sigma_{2})$es $S = \sigma_{1}+\sigma_{2}$.