De la mecánica cuántica a la mecánica estadística en un caso concreto

Me gustaría saber cómo llegar a la mecánica estadística a partir de la ecuación de Schrödinger de muchas partículas usando un ejemplo específico, sin usar ninguna mecánica hamiltoniana, espacios de fase o conjuntos, como una forma concreta de entender lo que está pasando. No entiendo el significado de asumir el equilibrio térmico en relación con la función de onda (al elegir un estado) o lo que significa la distribución de Maxwell-Boltzmann en este contexto. Mi intento se da a continuación.

Dadas 3 partículas que no interactúan en un pozo de potencial 1-d de longitud a, resolvemos la ecuación de Schrödinger − ℏ 2 2 metro ∇ 2 ψ = mi ψ para encontrar la solución

ψ norte 1 , norte 2 , norte 3 ( X 1 , X 2 , X 3 ) = ( 2 a ) 3 pecado ⁡ ( norte 1 π a X 1 ) pecado ⁡ ( norte 2 π a X 2 ) pecado ⁡ ( norte 3 π a X 3 )
tal que
mi norte 1 norte 2 norte 3 = ℏ 2 π 2 2 metro a 2 ( norte 1 2 + norte 2 2 + norte 3 2 )
Si la energía total fuera
mi = 243 ⋅ ℏ 2 π 2 2 metro a 2

entonces habría 10 formas de satisfacer norte 1 2 + norte 2 2 + norte 3 2 = 243 :

( 9 , 9 , 9 ) , ( 3 , 3 , 15 ) , ( 3 , 15 , 3 ) , ( 15 , 3 , 3 ) , ( 5 , 7 , 13 ) , ( 5 , 13 , 7 ) , ( 7 , 5 , 13 ) , ( 7 , 13 , 5 ) , ( 13 , 5 , 7 ) , ( 13 , 7 , 5 )

Suponiendo que las partículas sean distinguibles, tendríamos 10 soluciones de función de onda distintas, por ejemplo ψ 9 , 9 , 9 ( X 1 , X 2 , X 3 ) , . . . . Todo esto es mecánica cuántica de muchas partículas. Ahora, ¿cómo llego a la mecánica estadística de esto?

Leyendo QM de Griffith, sección 5.4, dice que invocamos 'la suposición fundamental de la mecánica estadística' que dice en 'equilibrio térmico' cada estado distinto con energía total mi es igualmente probable. ¿Qué significa esto con respecto a la función de onda?

¿Está diciendo que todas las funciones de onda son 'iguales' entre sí?

ψ 9 , 9 , 9 ( X 1 , X 2 , X 3 ) = ψ 3 , 3 , 15 ( X 1 , X 2 , X 3 ) = ψ 3 , 15 , 3 ( X 1 , X 2 , X 3 ) = . . .

en el sentido de que podemos elegir cualquiera de las funciones de onda y usarla para describir el sistema de partículas como un todo?

¿Está diciendo que solo algunas de las funciones de onda son iguales entre sí?

ψ 9 , 9 , 9 ( X 1 , X 2 , X 3 ) ψ 3 , 3 , 15 ( X 1 , X 2 , X 3 ) = ψ 3 , 15 , 3 ( X 1 , X 2 , X 3 ) = ψ 15 , 3 , 3 ( X 1 , X 2 , X 3 ) ψ 5 , 7 , 13 ( X 1 , X 2 , X 3 ) = ψ 5 , 13 , 7 ( X 1 , X 2 , X 3 ) = ψ 7 , 5 , 13 ( X 1 , X 2 , X 3 ) = ψ 7 , 13 , 5 ( X 1 , X 2 , X 3 ) = . . .

y todas son igualmente probables, es solo que (cualquiera de las) últimas funciones de onda es la función de onda mecánica estadística del sistema, ya que se puede lograr de la mayor cantidad de formas. Esto es lo que parece implicar la distribución de Boltzmann, ¿es esto lo que dice?

¿Está diciendo que tenemos que deshacernos por completo de la función de onda? Me temo que esto es lo que pensaría la mayoría de la gente, pero no tiene ningún sentido para mí descartar la función de onda. Deberíamos poder usar todos o algunos de ellos. Además, dado que puede expresar la mecánica estadística en términos de una función de partición (que es una integral de ruta de Feynman que es una solución de la ecuación de Schrödinger), debe haber una relación directa con estas funciones de onda explícitas. Agradezco cualquier aporte :)

¿Conoces la mecánica estadística clásica? Los problemas descritos en su pregunta son idénticos (cada microestado tiene la misma probabilidad, etc.). Los 10 estados que ha enumerado deben ser igualmente probables, no iguales.
Este cálculo básicamente derivaría (un ejemplo de) la mecánica estadística clásica de la mecánica cuántica sin ninguna mecánica hamiltoniana (como se supone para derivar la mecánica estadística clásica). No puedes asumir las cosas que estás tratando de deducir.
Si lo que busca es la distinción entre Maxwell-Boltzmann / Fermi-Dirac / Bose-Einstein, hay poca mecánica cuántica a la vista (en el sentido de la ecuación de Schrödinger): una trata sobre partículas distinguibles, la otra sobre indistinguibles y los que no se superponen, y en el último las partículas son indistinguibles y pueden superponerse. No es necesario introducir las funciones de onda, solo los estados de energía (puede pensar en los estados clásicos si cree que esto es más fácil y hacer cada una de las tres suposiciones anteriores sobre el carácter de las partículas).

Respuestas (3)

Significa que cada estado (función de onda) que tiene la misma energía total también tiene la misma probabilidad, es decir, si tienes el sistema preparado de la misma manera muchas veces y mides el estado, la probabilidad de medir un estado específico no es una función de la energía.

¿Está diciendo que todas las funciones de onda son 'iguales' entre sí en el sentido de que podemos elegir cualquiera de las funciones de onda y usarla para describir el sistema de partículas como un todo?

Sí

¿Está diciendo que solo algunas de las funciones de onda son iguales entre sí?

No estaba hablando de eso, pero es cierto de todos modos. También debe suponer que las partículas son indistinguibles, por lo que en realidad solo hay 3 estados diferentes, (9,9,9), (3,3,15) y (5,7,13) (cambiando el orden de los números no cambie el estado). Si no asume partículas indistinguibles, obtiene un resultado incorrecto, lo que se conoce como paradoja de Gibbs.

Puedo ofrecer algunos comentarios sobre su proyecto, aunque sin resolver su problema específico.

Creo que mi perspectiva es bastante diferente a la tuya. Históricamente, la mecánica estadística surgió de la termodinámica macroscópica; no puedes divorciarte de los dos. Podemos tomar a Gibbs y Boltzmann como los creadores de la mecánica estadística, con una punta de sombrero para Maxwell.

Para simplificar, me enfoco primero en Gibbs, quien fue principalmente un termodinámico clásico macroscópico. En su época, la mayoría de los termodinámicos insistían en que su ciencia era puramente macroscópica y no tenían nada que decir sobre la realidad microscópica (presumiblemente atómica y/o molecular). Gibbs se propuso crear una estructura matemática que comenzaría con la mecánica hamiltoniana de las moléculas, y terminar con una termodinámica cuyas variables (energía, entropía, etc.) eran todas expresables en términos de parámetros moleculares. El éxito de su esfuerzo se manifiesta en el hecho de que trabajó antes del descubrimiento de la mecánica cuántica y, sin embargo, su estructura conceptual sigue siendo la que usamos hoy.

El trabajo de Gibbs todavía está impreso, pero es difícil de leer. Recomiendo Tolman (Statistical Mechanics, ahora disponible como una reimpresión de Dover) y Landau (Statistical Physics, Vol. 1). Tendrá que ir más allá de Griffiths si desea progresar aquí; y sería cauteloso al tratar de construir su estructura lógica sobre su declaración de principios fundamentales: por ejemplo, dos estados de igual energía tendrán diferentes pesos estadísticos si uno es degenerado y el otro no.

El objetivo de Boltzmann era similar al de Gibbs: es decir, conectar la termodinámica macroscópica con la mecánica molecular microscópica. Fue atacado rotundamente por esto, y es probable que estos ataques hayan contribuido a su suicidio. Desafortunadamente, no vio los primeros trabajos de Einstein sobre el movimiento browniano (que ya habían aparecido) y que proporcionaron la primera verificación definitiva --es decir, con respecto a un sistema físico específico-- de que la mecánica estadística describe correctamente la termodinámica.

Las cosas que desea evitar (mecánica hamiltoniana, conjuntos, espacios de fase, etc.) no son fáciles de evitar, y tratar de evitarlas probablemente lo lleve a una gran frustración. La ecuación de Schroedinger no es un punto de partida necesario: si comienza con un hamiltoniano, obtiene una mecánica estadística que se adapta fácilmente al uso clásico o mecánico cuántico.

Sé que mi respuesta no es lo que estás buscando; pero espero que sea de alguna pequeña ayuda a pesar de eso.

Sí, son literalmente los dos mejores libros que he encontrado, Tolman & Landau, Fowler también es bueno. Realmente solo estoy preguntando dónde termina qm de muchos cuerpos y dónde comienza stat mech, y qué sucede con la función de onda cuando comienza stat mech, para un ejemplo específico para comprender lo que está sucediendo, el ejemplo de Griffith es bueno para la especificidad en los números y la claridad del cálculo. ¿Alguna idea sobre la pregunta?
No suelo pensar en dónde termina QM y comienza SM. Para mí, QM se trata de calcular la dinámica y SM de calcular la termodinámica. Son herramientas diferentes que hacen trabajos diferentes, y obviamente (al menos para mí) no se fusionan entre sí, y viceversa. El único lugar donde las funciones de onda ingresan a SM (al menos en mi mundo) es cuando necesito calcular una matriz de densidad, cuyos elementos básicos son productos externos de pares de funciones de onda. Pero incluso entonces, la matriz de densidad no es intrínsecamente SM. OK, puedes calcular la matriz de densidad en el equilibrio térmico; entonces estás haciendo SM.
Continuando en este sentido: lo que suelo tomar de QM para usarlo en SM son los valores propios de la energía. Dame esos y puedo calcular la función de partición; dame eso y puedo calcular todas las cantidades termodinámicas que quiero (por ejemplo, energía, entropía, etc.) Espero no estar demasiado lejos del tema. Por cierto, disfruta de Landau y Tolman; Fowler solo lo conozco por (su inmensa) reputación.

Si desea reproducir las predicciones del conjunto canónico, que dice que la probabilidad de un estado es proporcional a Exp ⁡ ( − β mi ) dónde β = ( k b T ) − 1 , recuerde cómo se considera el conjunto canónico: necesitamos tomar un sistema de muchos cuerpos (en su caso, un sistema cuántico) y acoplarlo débilmente a un baño de calor.

Creo que lo que está tratando de comprender es la Hipótesis de termalización del estado propio, que básicamente pregunta "¿cómo puede ser que un sistema cuántico obedezca estos principios de statmech como la distribución de Boltzmann, etc.?" Esta es una pregunta muy profunda y las respuestas son honestamente bastante caso por caso. Algunos sistemas (por sistema, estoy hablando tanto del subsistema cuántico en el que está haciendo statmech, como del baño al que está acoplado) obedecen a la termalización de estado propio (sobre la cual los estados propios del subsistema obtienen probabilidades proporcionales al factor de Boltzmann apropiado ), algunos sistemas no lo hacen. Esto hace que sea algo bastante complicado de estudiar. En su situación, si quiere tener alguna oportunidad de hacer realmente esta derivación de primeros principios de statmech de QM,

Esta es una respuesta bastante pesimista, así que le ofreceré alguna orientación. Acabo de tomar este statmech final http://pages.physics.cornell.edu/~sethna/teaching/562/HW/Final20.pdf y la última pregunta ("Heisenberg Entanglement") es un pequeño ejercicio que te muestra cómo puede ver la termalización del estado propio en un sistema cuántico.

Básicamente, toma una "cadena de espín", un antiferromagnético Heisenberg unidimensional, y trata una colección de espines en esa cadena como su "sistema" y el resto como un "baño de calor", aunque la mecánica cuántica del sistema completo (es decir, diagonalización del hamiltoniano) se resuelve exactamente en una computadora. Creo que debería seguir adelante y resolver este problema (aunque necesitará saber matrices de densidad, y el problema anterior de este examen final tiene una guía útil con trazas parciales que también son cruciales, y también necesitará saber cómo codificar , aunque es bastante básico en un lenguaje como Matlab que tiene todas las herramientas sofisticadas integradas).

Me doy cuenta de que el problema anterior son los espines y no la ecuación de onda de Schrödinger, pero creo que debería comenzar por pensar en sistemas simples de niveles finitos como modelos de espín solo porque son más tratables analíticamente.

(Por cierto, el examen final al que me refiero ya se completó y calificó, por lo que creo que está bien discutirlo en Internet. De todos modos, también es un problema de libro de texto en el mismo libro del profesor).

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