¿Cómo puedes modelar cuánto avanzará un cilindro giratorio durante la caída libre?

Actualización : Estaba tan interesado en responder esta pregunta que hice una pequeña simulación del efecto. Ver: https://joeiddon.github.io/magnus_effect/ .

Habiendo hojeado la página de Wikipedia sobre el efecto Magnus , podemos considerar que la fuerza Magnus,$F_m$, es proporcional a la velocidad del cilindro y perpendicular a ella. Tenga en cuenta que en realidad depende de otros factores, como la velocidad angular y el radio del cilindro, así como la densidad del fluido (aquí el aire), pero le dejaré esto para que lo agregue, solo lo tomaremos como proporcional. a la velocidad

$$F_m \propto v = kv \label{1}\tag{1}$$

También sabemos que existe la fuerza hacia abajo debido a la gravedad. Esto es proporcional a la masa del cilindro, pero en una pequeña distancia se puede considerar constante. Ignorando otros efectos aerodinámicos, estas son las únicas dos fuerzas en el cilindro:$F_m$, la fuerza curva magnus que actúa perpendicular a la velocidad del cilindro, y$W$, el peso que actúa hacia abajo.

Para resolver este problema, puedo ver dos enfoques: aproximar el cambio de ángulo a cero, de modo que la fuerza de Magnus esté siempre hacia la izquierda y el peso sea la única fuerza vertical, o podemos intentar formar la ecuación de movimiento para el cilindro y resolver exactamente.

Primero probaré este último enfoque.

Deje que la velocidad del cilindro tenga dos componentes: horizontal$v_x$y verticales$v_y$. Ahora intentamos calcular las fuerzas sobre el cilindro en términos de estas, es decir, dividirlas en términos de sus componentes verticales.

Comencemos sin el efecto Magnus. Si la única fuerza sobre el cilindro fuera su peso, entonces la aceleración en la dirección x sería cero,$\dot{v_x} = 0$, y la aceleración en la dirección y sería menos la aceleración debida a la gravedad,$\dot{v_y} = -g$.

Estas serían nuestras ecuaciones de movimiento, y podríamos seguir adelante y resolverlas.

Ahora intentemos agregar el efecto Magnus. Debido a que esta fuerza es perpendicular a la velocidad y proporcional a ella (Ecuación$\ref{1}$), su componente x será proporcional a la componente y de la velocidad, y su componente y será proporcional a la componente x de la velocidad. Esto puede no ser intuitivo para usted, personalmente dibujé un diagrama con un ángulo$\theta$(como comenzó en su pregunta), y analizó la geometría de la situación antes de concluir que la componente x de la fuerza era$v\cos\theta$, que por supuesto es la componente y de la velocidad, y de manera similar la componente y de la fuerza fue$v\sin\theta$que es la componente x de la velocidad. Si quieres entender esto más, echa un vistazo al movimiento circular que es la base fundamental de esta idea.

Entonces, algebraicamente, podemos escribir la fuerza de Magnus como un vector (escribiéndola como un vector porque no se puede subíndice$F_m$!):

$$\vec F_m = \pmatrix{kv_y \\ kv_x}$$

Ahora podemos decir que la fuerza total sobre el cilindro,$F$, es dado por:

$$\vec F = \pmatrix{kv_y \\ kv_x - W}$$

que es solo agregar la fuerza vertical debido a la gravedad.

Ahora podemos usar la segunda ley de Newton,$\vec F = m\vec a$para encontrar ecuaciones de movimiento.

$$\vec a = \frac{1}{m}{\vec F} = \frac{1}{m}\pmatrix{kv_y \\ kv_x - W}$$

Lo que significa que nuestras ecuaciones son:

$$\begin{align} \dot{v_x} &= \frac{k}{m}v_y \\ \dot{v_y} &= \frac{k}{m}v_x - \frac{1}{m}W \end{align}$$

Este sistema de ecuaciones diferenciales se puede resolver para encontrar la velocidad en función del tiempo. Integrar la velocidad vertical te permitirá encontrar el tiempo que tarda el cilindro en llegar al suelo ya que conoces la altura inicial, y luego puedes integrar la velocidad horizontal hasta ese momento para encontrar la distancia recorrida en la dirección x.

No resolveré esto por usted, pero este es un problema de cálculo bien definido que puede investigar fácilmente el método de resolución (¡los matemáticos tienen el trabajo fácil, la física es la parte difícil!).

Solo para cerrar, te mostraré cómo resolver el método aproximado más fácil que se me ocurrió.

Aquí decimos que podemos decir que el efecto Magnus es pequeño en comparación con el peso, por lo que la velocidad vertical no se ve afectada por la fuerza Magnus. Esto hace que nuestras ecuaciones de movimiento sean mucho más simples:

$$\begin{align} \dot{v_x} &= \frac{k}{m}v_y \\ \dot{v_y} &= \frac{1}{m}W = g \end{align}$$

Para resolver estas ecuaciones más simples para el desplazamiento horizontal (nuestro objetivo), usaremos la segunda para encontrar el tiempo para llegar al suelo y luego usaremos la primera para encontrar el desplazamiento horizontal.

La segunda ecuación describe una aceleración vertical constante,$a_y = g$, esto significa que hay cinco ecuaciones generales llamadas ecuaciones SUVAT que se aplican a esta situación. Podemos citar estos resultados sin tener que derivarlos.

Conocemos la altura vertical inicial,$s=10m$, y la velocidad inicial$u=0ms^{-1}$, y queremos el tiempo,$t$, por lo que elegimos la ecuación que involucra estas variables:

$$s = ut + \frac{1}{2}at^2$$

que da nuestro tiempo como$t = \frac{2s}{a} = \frac{2s}{g}$.

Ahora que sabemos el tiempo que tarda el cilindro en llegar al suelo, podemos usar la primera ecuación de movimiento para encontrar el desplazamiento horizontal. Vemos que esta ecuación implica$v_y$que es la velocidad vertical en función del tiempo. Afortunadamente, las ecuaciones de SUVAT nos brindan esto, ya que tenemos una aceleración constante en la dirección y:$v_y = u + at = gt$. Poniendo esto en la primera ecuación da

$$\dot{v_x} = \frac{k}{m}gt.$$

Así que la aceleración horizontal está cambiando con el tiempo. Para encontrar el desplazamiento horizontal en el tiempo$t=\frac{2s}{g}$, debemos integrar esta ecuación, ¡dos veces!

Primero integramos para encontrar la velocidad horizontal en función del tiempo.

$$v_x = \frac{k}{2m}gt^2 + c$$

Y la velocidad horizontal es inicialmente cero, entonces$v_x(t=0) = 0$, entonces$c=0$.

Ahora podemos integrar una vez más nuestra velocidad para encontrar el desplazamiento horizontal en función del tiempo.

$$s_x = \frac{k}{6m}gt^3 + c'$$

Una vez más, el desplazamiento horizontal inicial es cero, por lo que$c' = 0$.

Por lo tanto, finalmente llegamos a nuestra ecuación final para el desplazamiento horizontal (con aproximación, por supuesto), que es:

$$s_x = \frac{k}{6m}gt^3$$

Conectando nuestro tiempo de$\frac{2s}{g}$da el desplazamiento horizontal final cuando el cilindro golpea el suelo de$\frac{4sk}{3mg^2}$.

Definitivamente hay errores en estos cálculos (el resultado final ni siquiera es dimensionalmente consistente, ¡así que comente las correcciones por favor!) Pero definitivamente deberían ponerlo en su camino: confío en la exactitud de las ecuaciones de movimiento y el proceso de formarlos debería ayudar.