¿Por qué a veces hay un término adicional en las relaciones de ortogonalidad para los vectores de polarización?

Question

¿Por qué a veces hay un término adicional en las relaciones de ortogonalidad para los vectores de polarización?

glS

Al considerar los vectores de polarización de un campo de espín-1 masivo , como un $A_\mu$ con densidad lagrangiana

\begin{matrix} (A) & L = - \frac{1}{4} F_{m v} F^{m v} + \frac{1}{2} {METRO}^{2} A_{m} A^{m}, \end{matrix}

$\tag{A} \mathscr{L} = - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \frac{1}{2}M^2 A_\mu A^\mu,$ ampliamos las soluciones de

A_{μ}

$A_\mu$ como

\begin{matrix} (B) & A^{m} (X) = \sum_{λ} \int d \tilde{k} [ε^{m} (λ, k) a (λ, k) {mi}^{- i k X} + ε^{m} (λ, k)^{*} a^{†} (λ, k) {mi}^{i k X}], \end{matrix}

$\tag{B} A^\mu(x) = \sum_\lambda \int d \tilde{k} [ \varepsilon^{\mu}(\lambda,k) a(\lambda,k) e^{-ikx} + \varepsilon^{\mu}(\lambda,k)^* a^\dagger(\lambda,k) e^{ikx} ],$ donde los tres vectores de polarización

{ε (λ, k)}_{λ}

$\{ \varepsilon(\lambda,k) \}_\lambda$ satisfacer las relaciones de completitud

\begin{matrix} (C) & \sum_{λ} ε^{m} (λ, k) ε^{v *} (λ, k) = - η^{m v} + \frac{k^{m} k^{v}}{{METRO}^{2}} . \end{matrix}

$\tag{C} \sum_\lambda \varepsilon^\mu(\lambda,k) \varepsilon^{\nu*}(\lambda,k) = - \eta^{\mu\nu} + \frac{k^\mu k^\nu}{M^2}.$

Las preguntas:

¿Dónde está el segundo término? $k^\mu k^\nu/M^2$ ¿viene de?
¿Por qué es necesario?
Usando (C) y yendo a sin masa $M \to 0$ límite obtenemos una singularidad, lo que haría que la relación estuviera mal definida. Entonces, ¿cómo se debe manejar el límite sin masa?
¿En qué otras circunstancias (campos spin-X masivos/sin masa) se necesita una corrección similar a las relaciones de completitud?

Las fórmulas anteriores se pueden encontrar, por ejemplo, en Srednicki, (85.16) , con una notación algo diferente (él usa la convención métrica espacial de Minkowski opuesta a la mía).

fénix87

el RHS es el 2-tensor simétrico más general que puede escribir usando la métrica y k. resulta que -1 y

1 / M^{2}

$1/M^2$ son los coeficientes correctos.

Respuestas (1)

¿Por qué a veces hay un término adicional en las relaciones de ortogonalidad para los vectores de polarización?

el RHS es el 2-tensor simétrico más general que puede escribir usando la métrica y k. resulta que -1 y $1/M^2$ son los coeficientes correctos.

una mente curiosa · Answer 1

Observe que la relación de "completitud" es solo el proyector en el espacio abarcado por los vectores de polarización. A priori, sabemos que $P_\epsilon^{\mu\nu} := \sum_\lambda \epsilon^\mu_\lambda(k)\epsilon^{*\nu}_\lambda(k)$ por lo tanto, se proyecta sobre el subespacio ortogonal al impulso, ya que $\zeta^\mu k_\mu = 0$ para cualquier vector de polarización $\zeta^\mu$ . El 2-tensor simétrico más general que depende solo de la métrica y el impulso es $P^{\mu\nu}_\epsilon = a\eta^{\mu\nu} + b k^\mu k^\nu$ con $a,b \in \mathbb{C}$ inicialmente arbitrario. Aplicando el proyector a los rendimientos de impulso $P^{\mu\nu}_\epsilon k_\mu = a k_\nu + b k^2 k_\nu \overset{!}{=} 0$ y usando $k^2 = m^2$ , se obtiene la relación que cita.
Porque es la condición que el vector sea una polarización , y no cualquier vector.
De hecho, el límite sin masa de la acción de Proca está mal definido. Se puede utilizar el lagrangiano de Stückelberg con un campo escalar auxiliar $\phi$ , que tiene un límite suave sin masa, así como una invariancia de calibre explícita para masas masivas. $\mathrm{U}(1)$ campos. (Esta es la razón por la cual los fotones masivos no son un problema en QED)

L = - \frac{1}{4} F^{m v} F_{m v} + \frac{1}{2} (\partial^{m} ϕ + metro A^{m}) (\partial_{m} ϕ + metro A_{m})

$L = -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + \frac{1}{2}(\partial^\mu \phi + m A^\mu)(\partial_\mu \phi + m A_\mu)$

Necesita tal modificación cada vez que tiene grados de libertad no físicos , como tenemos con las polarizaciones. $\sim k$ en este caso.

Entonces, es correcto decir que esta condición (la (C) que mencioné) no debe probarse sino imponerse para garantizar que los vectores de polarización utilizados en la expansión de $A_\mu$ son tales que la EOM $[◻ η^{m v} - (1 - 1 / ξ) \partial^{v} \partial^{m}] A_{m} (X)$ $\left[ \square \eta^{\mu\nu} - (1-1/\xi) \partial^\nu \partial^\mu \right] A_\mu(x)$ ¿sostener? O en otras palabras, se proyectan en el espacio de 4 vectores $\varepsilon^\mu$ satisfactorio $[- k^{2} η^{m v} + (1 - 1 / ξ) k^{m} k^{v}] ε_{m} = 0$ $\left[ -k^2 \eta^{\mu\nu} + (1-1/\xi) k^\mu k^\nu \right] \varepsilon_\mu = 0$
@vistazo: se proyectan en el espacio de 4 vectores ortogonales a $k$ . La restricción se debe a que la ecuación de Proca implica la restricción $\partial_\mu A^\mu = 0$ , que debe implementarse en el espacio de Hilbert al igual que la condición de calibre en la cuantización de Gupta-Bleuler para bosones de calibre. En ese sentido, sí se impone para asegurar que la $\epsilon$ abarcan sólo el espacio de los estados físicos .
Sí, lo siento, mezclé casos masivos y sin masa. Sin embargo, en el caso sin masa es lo mismo, ¿verdad? Todavía imponemos una condición de Lorentz y por lo tanto requerimos $k^\mu \varepsilon_\mu = 0$ , mientras que la libertad de calibre adicional proviene de la identificación de todos los vectores de polarización que difieren en un múltiplo del vector de impulso 4: $\varepsilon_\mu(k) \approx \varepsilon_\mu(k) + \alpha k_\mu$ . ¿Es esto correcto?
@vistazo: Sí, eso es correcto. La división de los estados espurios correspondientes a múltiplos del 4-momentum para bosones vectoriales sin masa se deriva de las identidades de simetría de norma/Ward residuales, y no las tenemos para campos masivos.

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glS

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