¿De cuántas maneras se pueden sentar alrededor de una mesa 444 parejas si...?

Aquí hay un enfoque diferente. Hay cuatro apellidos ABC y D. Si dibuja una línea divisoria en el centro de la mesa, entonces en un lado debe colocar las letras ABCD que se pueden hacer en$4!$maneras.

Para cada uno de estos apellidos, hay un esposo o una esposa que ocupa este puesto, con su cónyuge sentado automáticamente en el lugar opuesto. Podemos elegir si cada apellido está representado por marido o mujer en$2^4$maneras.

Finalmente, para cada arreglo, podemos pedirle a todos que se muevan un lugar a la izquierda, pero aún tenemos el mismo arreglo. Del mismo modo, podemos rotar cada arreglo en ocho posiciones nuevas, pero cada arreglo sigue siendo el mismo que el original. Por lo tanto, dividimos por ocho.

Juntando todo esto tenemos un total de

A menos que se especifique lo contrario, en los arreglos de asientos circulares, solo importa el orden relativo de las personas. Por lo tanto, podemos considerar la disposición de los asientos en relación con la primera persona en la que nos sentamos.

Alinee a las mujeres en orden alfabético. Sentar a la primera mujer. Su esposo debe sentarse frente a ella. La siguiente mujer puede sentarse en uno de los seis asientos restantes. Su esposo debe sentarse frente a ella. Eso deja cuatro asientos para la tercera mujer. Su esposo debe sentarse frente a ella. La última mujer puede sentarse en uno de los dos asientos restantes. Su esposo debe sentarse frente a ella. Por lo tanto, hay$6 \cdot 4 \cdot 2 = 48$arreglos de asientos distinguibles en los que cada esposo y esposa se sientan uno frente al otro.