¿De cuántas maneras pueden sentarse siete personas alrededor de una mesa circular?

En una disposición circular primero tenemos que fijar la posición de la primera persona , que se puede realizar de una sola manera (ya que todas las posiciones se consideran iguales si ya no hay nadie sentado en ninguno de los asientos), también, porque no hay marca en las posiciones .

Ahora, también podemos suponer que las personas restantes deben sentarse en una línea , porque hay un punto fijo de inicio y fin , es decir, a la izquierda oa la derecha de la primera persona .

Una vez que hayamos fijado la posición de la primera persona, ahora podemos organizar el resto $(7-1)$ personas en$(7-1)!= 6!$maneras.

Depende de lo que quieras decir con "cuántas maneras".

No es irrazonable contar dos asientos alrededor de la mesa que solo difieren en una rotación como "igual".

Por otro lado, si las sillas y la vista desde las sillas son diferentes, podría tener más sentido contar esos asientos como diferentes.

También puedes pensarlo de esta manera. En línea recta (es decir, sentando a siete personas en siete sillas una al lado de la otra), claramente hay$7!$maneras. Pero cuando se unen en un círculo, una rotación todavía cuenta de la misma manera de sentar a todos. Notarás que hay$7$posibles rotaciones en este caso (desde siete sillas). Entonces dividimos el resultado de la línea recta en$7$grupos Esto es$7!/7 = 6! = (7-1)!$. Esta idea también se llama permutación circular.

Primero se sienta una persona: solo hay una forma posible de sentarse, ya que los asientos son idénticos. Ahora los asientos restantes difieren ya que una nueva persona puede sentarse a la derecha o a la izquierda (en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj) de la primera persona, por lo que hay$6!$caminos para$6$personas que se sitúen alrededor de la mesa (con un lugar ya ocupado por la primera persona). Por lo tanto, hay$1 \times 6!$maneras para que la gente se siente alrededor de una mesa circular.

Antes de abordar esta cuestión es importante ver la diferencia entre dos problemas muy similares. Asientos$7$personas en una mesa donde cada asiento está numerado, y asientos$7$personas en una mesa donde las sillas no están numeradas. A la hora de sentarnos en una mesa con sillas que no estén numeradas querremos comenzar colocando a la primera persona. Al principio puede pensar que tiene$7$lugares para sentarlo! Pero debido a que la mesa no está numerada, cualquier lugar que decidas colocarlo es en realidad idéntico. Esto se debe a que si rotas cualquier círculo, puedes llegar a la misma mesa. Esta es la razón por la que no tiene importancia el lugar donde colocas a la primera persona. Después de colocar a la primera persona, sus ubicaciones comienzan a tener importancia.

Y si las sillas están numeradas es$7!$. Como es un problema idéntico a hacer fila$7$gente.

Fijar la posición de la primera persona y ahora hay$(7-1)!$maneras totales. Pero si no considera que el sentido antihorario y el sentido de las agujas del reloj son diferentes de$\frac{(7-1)!}{2}.$

Numere las posiciones alrededor del círculo desde$1$a$n$. Cortar el círculo en cualquier posición, digamos$1$, y diseñe el círculo como una línea recta. Las permutaciones de la$n$los puntos son$n!$en número. Pero para un círculo podrías haber cortado la cuerda en cualquier punto y aún así obtener una permutación de$n!$. Por lo tanto, dividimos por$n$Llegar$(n-1)!$

Si en qué silla te sientas importa, tu valor de$7!$sería correcto; pero si no es así, entonces no importa qué silla consideres la "primera" silla, o de manera equivalente, quién se siente en ella, todo lo que importa es dónde se sientan las 6 personas restantes:$6!$.

Otras respuestas dan explicaciones correctas, pero carecen de una buena intuición. Si por "mismo posicionamiento" queremos decir "cada persona tiene las mismas personas en su lado izquierdo y derecho" (lo que parece bastante natural), entonces esta definición de "igualdad" en realidad implica que los asientos "rotados" son los mismos . Esta misma definición de "igualdad" funciona de manera diferente cuando las personas en cuestión se sientan en una fila: entonces una persona no tiene a nadie a la izquierda y otra, a nadie a la derecha.

¡Creo que esto ilustra por qué los problemas verbales son difíciles para los estudiantes! Realmente tienes que preguntarles de una manera que aclare cómo las palabras deben interpretarse matemáticamente.

Si la pregunta fuera solo sobre (una fila de) 7 sillas, entonces$7!$sería la respuesta probable. La palabra circular sugiere que probablemente no le importe la diferencia entre los arreglos en los que uno puede obtenerse del otro si todos se mueven un cierto número de lugares hacia la izquierda o hacia la derecha. Si estamos hablando de hacer collares con 7 cuentas de diferentes colores, probablemente no nos importe si una se obtiene de otra al rotar las cuentas; pero también es posible que no nos importe que el collar se haya volcado.

Este tipo de problemas se pueden resolver utilizando la teoría de grupos elemental (contando las órbitas de las acciones de grupo utilizando una fórmula a menudo atribuida a Burnside). Pero aquí podemos abordarlo fácilmente con argumentos de conteo elementales como indican otras respuestas.

¿Se trata de sillas o de un banco circular? Si estamos usando sillas, entonces el número de combinaciones es$(7-1)!$como se señaló anteriormente. Sin embargo, si estamos usando un banco circular, entonces la ubicación de los dos primeros asistentes es irrelevante. En consecuencia, los próximos cinco niñeras se pueden colocar en$(7-2)!=$$720$maneras.