¿Cuántos centavos componen un cuarto de tono en 15-EDO?

Mi pregunta es de mi curso MUS 204, que es la siguiente: ¿ Cuántos centavos componen un cuarto de tono en 15-EDO?

Creo que me falta una pieza de conocimiento para responder una pregunta aparentemente tan simple. Primero, entiendo que un cuarto de tono son 50 centavos y segundo, entiendo que la relación de frecuencia en 15-EDO, corrígeme si me equivoco, es 2^1/15 y un centavo es 1/1200 de octava.

Quería resolver el problema de forma similar a resolver el número de centavos en una quinta perfecta. (es decir, logaritmo de base 2 elevado a 3/2 = (número de centavos)/1200, que es aproximadamente 702 centavos). Sin embargo, sustituir 3/2 por 1/15 produce un número incorrecto. (El número correcto debería ser 80 centavos).

¿Qué pasos correctos se deben tomar para encontrar la respuesta correcta a la pregunta anterior?

Encuentro esta pregunta dudosa. En mi opinión, no hay cuartos de tono en 15-edo.
@leftaroundabout respondí sobre esta base

Respuestas (3)

Tomando 12-EDO como punto de partida...

  1. 12-EDO divide la octava en 12 semitonos y, por tanto, 24 cuartos de tono.
  2. El propósito de los "centavos" es dividir la octava usando una escala lineal en lugar de una exponencial.
  3. Una octava de 1200 centavos significa que cada cuarto de tono de 12 EDO es 1200/24 ​​= 50 centavos.

15-EDO debe tratarse de manera análoga.

  1. 15-EDO divide la octava en 15 "semitonos" y, por tanto, 30 "cuartos de tono".
  2. Se sigue, entonces, que cada cuarto de tono de 15 EDO es 1200/30 = 40 centavos.

Como se señaló en los comentarios, la pregunta original del libro de texto es dudosa. Los conceptos de "tono", "semitono", "cuarto de tono" y "quinta justa" tienen significados específicos en 12-EDO que no se transfieren, o al menos no se transfieren necesariamente, a otros sistemas EDO. Es engañoso hablar de semitonos y cuartos de tono, etc., en el contexto de 15-EDO.

No me gusta. Por la misma lógica, un “cuarto de tono en 22-edo” sería 27,3 centavos, pero ese intervalo ciertamente no debería llamarse cuarto de tono.
@leftaroundabout Depende de lo que se considere un "tono" o "semitono" dentro del contexto del sistema de afinación en particular. Dado que la pregunta se origina en Music 204, supongo que están tratando de hacer una analogía simple con buenas matemáticas en lugar de una definición generalizada en todos los EDO. Francamente, no me gusta la pregunta del libro de texto que provocó esto, exactamente por la razón a la que aludes: es engañoso referirse a los conceptos 12-EDO (semitono, cuarto de tono, quinta perfecta) en el contexto de 15- o cualquier otro - EDO.
@leftaroundabout He agregado una explicación calificativa a la respuesta. Valoraría su opinión sobre si ofrece una advertencia adecuada.
OMI muy adecuado!
@Aaron El quinto perfecto JI es 3: 2, un concepto que trasciende por completo cualquier sistema de afinación. Los semitonos se pueden construir como 16:15 (semitono diatónico, cuarta perfecta menos tercera mayor), 25:24 (semitono cromático, tercera mayor menos tercera menor) y combinaciones más extrañas. Cualquier cosa que pretenda llamarse "cuarto de tono" debe estar en algún lugar a la mitad, necesariamente cerca del rango de 50 centavos.
OP cita el número 80 centavos, lo que me hace pensar que ella ya conoce la información que proporcionó aquí, y la pregunta es cómo derivar el número de centavos de las frecuencias.
Los centavos no son una división lineal de un semitono (o de una octava). Si fueran lineales, un cuarto de tono no serían 50 centavos.
@PiedPiper Quizás usé el término incorrecto. Los centavos permiten una multiplicación simple en la que x semitonos son, digamos, 50x centavos. ¿Eso no es lineal?
@Aaron - ¿No es un semitono 100 centavos ?
Las frecuencias subyacentes son exponenciales, tal como lo son con semitonos y octavas.
@PiedPiper Las frecuencias subyacentes, sí, pero las matemáticas para los centavos en sí son lineales, lo que entiendo es el punto de usar centavos.
@Dekkadeci Mi error en el comentario, sí.
Me parece que un centavo debería definirse como la centésima parte de una división en cualquier sistema EDO que esté utilizando. Bajo esa luz, un cuarto de tono debería ser 62.5 15-EDO-centavos
@phoog que haría que la escala de centavos fuera bastante inútil al comparar varios temperamentos o divisiones.
@ user1079505 eso es cierto, pero no hay una razón particularmente convincente para medir todos los temperamentos y divisiones contra el temperamento igual de 12 tonos. Sin embargo, el punto principal es que tiene menos sentido adaptar la definición de "semitono" a una división igual diferente de la octava mientras se mantiene el "centavo" relacionado con 12-EDO, porque el "semitono" es anterior a las divisiones iguales de la octava por completo. . ¿Es un semitono en 31-EDO la parte 31 de una octava? Por supuesto que no.
@phoog Sí, hay una razón, es necesario si realmente desea afinar su instrumento de una manera determinada. Considere también, en esta página: en.wikipedia.org/wiki/Equal_temperament intervalos parecen ser nombrados en función de su similitud con los intervalos 12-EDO. Llamar semitono a un paso de 15 EDO parece estar de acuerdo con esta convención.
@ user1079505 ¿cómo definir "cent" como 1/1200 de una octava en lugar de 1/100 de una división de octava ayuda a alguien a afinar una flauta o una guitarra a 15-EDO? Ni siquiera es posible afinar esos instrumentos a 15-EDO. Tampoco es necesario hacer referencia a las centésimas para afinar cualquier otro instrumento en 15-EDO; puedes calcular las frecuencias directamente.
Porque la fracción 1/1200 ya es un estándar establecido tanto para la investigación científica como en dispositivos disponibles comercialmente, como sintonizadores. Además, como mencioné, esto te permite comparar varias afinaciones fácilmente. Sí, los céntimos no son necesarios para nada, si lo prefieres puedes calcular frecuencias para cada propósito. Y, por cierto, Adam Neely muestra cómo afinar el bajo para 24-EDO, de manera similar podrías obtener 15-EDO. youtube.com/watch?v=H4KIwA8O9LU

sustituir 3/2 por 1/15 produce un número incorrecto

Aquí es donde cometiste un error. La fórmula para calcular el número de centavos entre dos frecuencias f₁ y f₀ es:

1200·log₂(f₁/f₀)

Para una relación de frecuencias de quinta perfecta f₁/f₀ = 3/2 (en entonación justa). Sin embargo, para un semitono en 15-EDO, la relación de frecuencias no es 1/15. Es 2¹⸍¹⁵.

Entonces las fórmulas son las siguientes: un semitono en 12-EDO tiene:

1200·log₂(2¹⸍¹²) = 1200·(1/12)·log₂(2) = 1200·(1/12) = 100 cents

De manera similar, un semitono en 15-EDO es

1200·log₂(2¹⸍¹⁵) = 1200·(1/15)·log₂(2) = 1200·(1/15) = 80 cents

Para un "cuarto de tono", es decir, la mitad de un semitono, en 15–EDO sustituya 2¹⸍¹⁵ por 2¹⸍³⁰ para obtener 40 céntimos.

Esta es una respuesta útil, pero sepa que OP indica 2^1/15 para el semitono. Es posible que desee revisar su descripción de dónde OP no entendió las matemáticas.
@Aaron OP escribió explícitamente que "reemplazó 3/2 con 1/15" y eso es un error. Puede ser un error aleatorio o tal vez un malentendido sobre dónde deben ir los números, pero aquí es donde se originan las discrepancias en los cálculos.
Sí, entiendo el error que estás corrigiendo. Solo creo que tu explicación de cuál fue el error no está del todo clara.
...específicamente, la segunda oración de tu explicación. En mi opinión, eso podría aclararse útilmente.
@Aaron Traté de aclarar la respuesta. Sin embargo, no entiendo muy bien qué no está claro en la oración "Para una quinta proporción perfecta de frecuencias es igual a 3/2".
En mi opinión, se lee mejor ahora.

TL;DR : Esta pregunta no tiene sentido.

Los cuartos de tono simplemente no existen en 12-EDO, ya que no hay forma alguna de tocar uno. Solo existen en 24-EDO, y si ha agregado una tonelada de tonos adicionales en el medio, claramente no está usando 12-EDO en primer lugar .

Del mismo modo, 15-EDO literalmente significa que un solo paso es 2^1/15, lo que equivale exactamente a 80 centavos. Eso, y todos sus múltiplos, son los únicos intervalos que incluso se pueden reproducir.

Cualquiera que sea el significado que asigne a un cuarto de tono, es razonable suponer que está en algún lugar alrededor de 50 centavos, tal vez un poco más. Según la lectura simple en inglés, 4 de estas cosas deberían sumar un tono completo, 200 centavos más o menos. 80 centavos está demasiado lejos de 50 - ¡es más de la mitad de grande!

Un error de 31 centavos, por ejemplo, se encuentra entre el 7º armónico real , menos 3 octavas, y el segundo mayor de 12-EDO. Nadie afirma que 12-EDO sea remotamente capaz de representar este intervalo. Simplemente no existe aquí.

La respuesta es: en 15-EDO, no hay ningún intervalo reproducible que se pueda usar de forma remota como un "cuarto de tono" .

Esto no aborda el problema del OP en su totalidad. Si pudiera reformularlo de una manera más educada, podría hacer un comentario válido sobre la semántica.
Seguro que con guitarra, trombón, violín, cualquier tono extra se puede tocar.
¿Cuántos centavos componen un cuarto de tono en 15-EDO?
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