¿Cuánto material de fondo debe incluir un trabajo de investigación matemática?

Recomiendo poner tanta explicación, contexto y antecedentes como sea razonablemente posible. En principio, ciertamente podría poner demasiado, pero en la práctica no creo haber visto nunca un trabajo de matemáticas que pensara que realmente tenía demasiado. Si estructura su escritura para que los expertos puedan hojear fácilmente las cosas que ya saben, entonces no veo por qué una explicación adicional debería molestar a nadie. La tradición requiere ser conciso, pero esa tradición se basaba en la economía de la publicación. El espacio en las revistas impresas solía ser un recurso escaso, y si lo gastaba en una exposición innecesaria, estaba impidiendo que alguien más publicara. La publicación aún no es gratuita (y los lectores también tienen cierta paciencia), por lo que no debe incluir enormes cantidades de antecedentes innecesarios,

Es posible que un árbitro o editor objete que no les gusta tu estilo. Es posible que pueda resistirse a hacer cualquier cambio (depende de cuán emocionante sea su trabajo y qué tan alto sea su propio estatus dentro de la comunidad), y si hace cambios, aún puede quedarse con muchas explicaciones.

Si es necesario, vale la pena tener dos versiones como sugiere Paul Garrett. Si lo hace, debe dejar muy claro cuál es cuál y cuáles son las diferencias, para evitar confusiones graves si alguien se refiere al documento sin darse cuenta de que necesita especificar qué versión.

El material de fondo es "estándar" en el sentido de que cualquier persona que trabaje en esta clase de problemas conocerá las definiciones o los resultados de alguna forma. Sin embargo, se trata de unos pocos cientos de personas como máximo, mientras que si incluyo el material de referencia, mi trabajo debería ser comprensible para un estudiante universitario avanzado.

Una razón para ser generoso con las explicaciones es que es fácil sobrestimar cuánto sabe la gente. Apuntar a estudiantes universitarios avanzados es una buena manera de asegurarse de que los estudiantes graduados realmente puedan leer el periódico. Si apunta a expertos, puede escribir un artículo que solo sus propios colaboradores puedan leer cómodamente.

Algunos de los resultados de fondo son parte del folclore del campo, y nunca he podido encontrar una prueba de ellos en la literatura. Si bien son creíbles y no difíciles de probar, creo que alguien debería molestarse en hacerlo.

Esta es una gran razón para incluir una prueba, aunque es importante consultar con expertos para confirmar que realmente no hay una prueba accesible en la literatura.

Hace que el papel sea más largo, aunque incluso con el fondo el papel no es largo (13 páginas).

Debe asegurarse de que no se vea como relleno, digamos con solo unas pocas páginas de contenido original entre las 13 páginas.

Por lo que he escuchado, generalmente se considera una mala práctica reafirmar definiciones y estados de construcción en otros lugares y refutar teoremas disponibles en la literatura. En parte esto se debe a que da la impresión de que no he leído la literatura. Esto se ve agravado por el hecho de que solo cito ~5 trabajos anteriores, principalmente para lecturas adicionales o presentaciones alternativas de algunos de los antecedentes.

Esto parece una preocupación, y cinco referencias no son muchas, incluso para un artículo de 13 páginas. Es posible que no necesite estrictamente más, pero recomendaría buscar referencias adicionales para obtener antecedentes. Como regla general, es mejor citar generosamente, dando mucho crédito a otros autores y ofreciendo muchos recursos a los lectores.

Con respecto a dar la impresión de que no ha leído la literatura, es importante tener claro cuáles son los antecedentes de la literatura (con una cita), qué es el folclore y cuál es su propia contribución. Si refuta algo que dice que se sabe pero no da una cita, puede parecer que fue demasiado perezoso para rastrearlo.

Como usted percibe correctamente, existen deseos contradictorios para los "documentos formales". La principal tradición para las publicaciones de revistas arbitradas es asumir que uno está escribiendo para los expertos, no para cualquiera que necesite mucha información o contexto. Sí, esto hace que la lectura de dichos documentos sea innecesariamente difícil para los no expertos. Sí, es probable que los antecedentes necesarios estén dispersos entre varios documentos anteriores, y algunos aparecen "en ninguna parte", en el sentido de ser apócrifos... ¿perdidos en la noche de los tiempos? :) Sin embargo, las revistas arbitradas de más alto estatus probablemente querrían que se editaran explicaciones más amplias y discursivas... y los árbitros y editores podrían interpretar su inclusión de cosas como "amateur" ("Simplemente no se hace...") , en tu detrimento.

Pero las expectativas o estándares de las revistas arbitradas ciertamente no son el único criterio, y es manifiestamente antitético al resultado obviamente deseable de una mayor difusión de ideas, recopilación y organización de literatura caótica, etc. Algunas personas le dirán que de alguna manera no está bien "mezclar" "investigación" y "exposición"... pero esto es una tontería, incluso si es tradicional. Pero, entonces, dada la predilección tradicional de las revistas arbitradas, si desea una versión más discursiva de su artículo, puede que tenga que conformarse con tener dos versiones, una para árbitros y otra para exposición/difusión más amplia.

La versión para árbitros probablemente no debería citar la versión discursiva, sino, en su lugar, hacer la parte casi inútil de citar las fuentes estándar dispares. La versión discursiva podría citar la versión para árbitros, así como las fuentes estándar, y aun así incluir su propia presentación actualizada, sacando a la luz los apócrifos, etc.

Pero me temo que ninguna versión publicada en una revista arbitrada podría cumplir con los requisitos de exposición más agradable que usted (totalmente razonable) le gustaría imponer.

Si hay pruebas en la literatura para algunos de sus materiales de referencia, es mejor que no las pruebe en su artículo a menos que sus pruebas sean mucho más simples o usen un método que se usará nuevamente en sus otras pruebas (he visto ambas ejemplos en artículos escritos por matemáticos bien conocidos). Sin embargo, si no puede encontrar una prueba para algunos de los resultados fáciles (o bien conocidos) en la literatura, es de gran ayuda para sus lectores agregar sus pruebas. En cuanto a la introducción de su notación y/o definiciones, puede ser aún más generoso con sus lectores. Aunque hay una desventaja en incluir muchos antecedentes, no incluir algunos de ellos puede retrasar el proceso de revisión de su artículo. No dude en citar más referencias si ayudan a encontrar algunos de los materiales de fondo. Y finalmente,

¡Buena suerte con tu papel!

No está del todo claro si el material de fondo es solo un fondo o si se necesita como andamiaje para los resultados que demuestra. Además, si ciertos lemas son "estándar", ¿por qué los estás probando? seguramente hay algún texto u otro artículo que pruebe estos lemas, y que puedas citar.

En general, en un artículo proporcionas el andamiaje necesario para probar tus resultados. No es necesario proporcionar otros elementos atmosféricos a menos que sea parte de una discusión más amplia de trabajo relacionado.

Un factor a agregar es que en muchos artículos de matemáticas, hay muchas definiciones y notaciones diferentes para un tema. Algunos de estos enfoques pueden hacer que sus resultados parezcan más o menos naturales. Incluso alguien que esté familiarizado con el tema puede confundirse por la forma en que presentas las cosas.

Una buena razón para una sección de antecedentes es para que pueda "preparar la escena" utilizando la presentación que considere mejor. A veces, simplemente configurar las cosas de una manera coherente es más valioso que los nuevos resultados en sí.

Advertencia: tengo experiencia con artículos "matemáticos" en la comunidad de Ciencias de la Computación. En nuestro campo, se supone que los artículos son (hasta cierto punto) autónomos; además, es más la responsabilidad del escritor aclarar las cosas que la responsabilidad del lector de estudiarlas (esto generalmente ayuda a conseguir más lectores y hacer que su investigación tenga impacto; además, los lectores no tienen tiempo para leer todos los artículos que quisieran). quieren, así que sé amable con ellos).

Optimizaría el fondo para saltear. De hecho, optimice todas las secciones para eso, pero especialmente ese fondo.

Para ser concretos, daré un ejemplo de lo que es razonable/puede recomendarse en nuestro campo.

\section{Background}
In this section, to make this paper self-contained and to fix notation,
we summarize
the theory of representable functors % don't be as vague as
% "background on X"
which we'll use later in the rest of the paper/in Sec. YYY. % Help readers figure out
% whether they actually need this background,
% if it's only needed for part of the paper.

\subsection{Standard definitions}
In this subsection, we summarize background which is available in the
literature, though spread across different references~\citep{1, 2, 3}.
% Don't order the material necessarily by reference, but by how they
% are best presented.

% ...

\subsection{Folklore theorems}
In this subsection, we present some basic results. Although they appear to be
folklore/almost obvious/believable % what you prefer
for experts, we found no proof in the literature, so
we include the proofs for completeness.

Puedes incluir algo que sea parte de la literatura; para demostrar que conoce la literatura, solo necesita agregar una cita; hacer lo contrario puede ser una mala práctica (si está muy claro, el resultado no es suyo), y alguien que no entiende lo que afirma podría considerarlo poco ético.

Sin embargo, debe decidir si vuelve a incluir las pruebas: ¿puede levantar la declaración directamente, adaptando la notación? ¿O es la configuración lo suficientemente diferente como para que necesite adaptar la prueba? ¿O es importante que un lector conozca la prueba para obtener su artículo, porque reutiliza ideas de prueba similares?

Sin embargo, las cosas en matemáticas pueden ser diferentes; los consejos aún deberían tener consecuencias similares, pero las convenciones son diferentes. Permítanme decir que los hábitos de los matemáticos son bastante frustrantes para, por ejemplo, los informáticos. He visto al menos a un científico informático respetado definir algunas referencias estándar (en estilo matemático) "ilegibles" o "solo de escritura".