¿Cuánto más grande es aaa que bbb cuando escribimos a≫ba≫ba \gg b?

Cuando una condición de alguna cantidad física a y b se presenta, digamos a ≫ b , cuánto más grande decimos a tiene que ser que b ? 10 ¿veces? 1000 ¿veces? 10 6 ¿veces?

Algo de contexto:

Estoy tratando de usar la teoría adiabática para derivar el espectro de energía de una partícula confinada en un anillo de radio b en el plano xy, cuando un monopolo de Dirac se mueve lentamente a una velocidad constante v de z = − ∞ a z = ∞ . La condición de aplicabilidad del teorema adiabático es que el tiempo T que se necesita para que un parámetro variable cambie apreciablemente es mucho mayor que ℏ Δ mi , dónde Δ mi denota alguna diferencia de nivel de energía típica entre estados propios del hamiltoniano. Mi problema es que no puedo cuantificar directamente un cambio apreciable, digamos por 10 % en z , ya que podemos escribir z = z 0 + v t pero z 0 es − ∞ . Entonces, estaba pensando en tomar z estar esencialmente infinitamente lejos del anillo cuando | z | ≫ b , el radio del anillo. Esto me daría un valor para z 0 . Pero no estoy seguro de cuánto más grande hacer z que b , de ahí mi pregunta.

Lo sentimos, la respuesta a la primera pregunta difiere enormemente entre campos. En termodinámica, puede ser 10 23 . En ingeniería mecánica puede ser 10 3 . En las ciencias blandas puede ser 10 . En QCD puede ser 3 . En la expansión epsilon es literalmente 1 . Por lo general, el error sería "en el orden de b / a porque ese es el siguiente término en la serie de Taylor.
Su segunda pregunta parece ser totalmente diferente, se trata de acotar el error de la aproximación adiabática. No sé la respuesta, ¡parece bastante complicado! Definitivamente no es solo una serie sencilla de Taylor.
El parámetro variable para su condición de aplicabilidad sería el término que ingresa directamente al hamiltoniano de una partícula y no z sí mismo. Supongo que sería algo así como la circulación del vector potencial alrededor del anillo.
@AVS El potencial del vector magnético A entra en el hamiltoniano, que depende de la coordenada z del monopolo. ¿Estás sugiriendo examinar A ? Lo intentaré ahora.

Respuestas (1)

El tratamiento usual para la aproximación es considerar la relación 1 ≫ b a y proceda a Taylor a expandir la función de su interés alrededor de algún punto, tal que los desplazamientos (perturbaciones) se escriban en términos de esta razón. Luego, puede decidir dónde truncar la expansión de su serie y estimar cuál es el error que está cometiendo al acotar los términos truncados.

Mi sugerencia para su caso sería intentar escribir primero expresiones exactas, si es posible. Entonces haz lo que te digo arriba. Es posible que necesite traducir la condición adiabática en algunas otras variables que aparecen directamente en sus fórmulas.

EDITAR: un ejemplo común sería la expansión de un término de la forma:

( 1 − b a ) − norte = ∑ k = 0 ∞ ( norte + k − 1 k ) X k = 1 + norte b a + o ( ( b a ) 2 ) ≈ 1 + norte b a

(Puede leer sobre la notación de la pequeña o en Wikipedia, que tiene la definición precisa). En el último paso, la serie se truncó a primer orden (se ignoran todos los términos de orden superior). Sin embargo, puede probar que el error que está cometiendo puede estar acotado por la siguiente derivada (después del truncamiento), en nuestro caso por la segunda derivada y por el desplazamiento. Esta serie está centrada en 0, por lo que el desplazamiento sería simplemente |x|. Para más detalles, consulte el Teorema de Taylor . Espero que el ejemplo funcione para entender el principio.

Al final, depende de usted decir cuánta precisión necesita, para establecer en qué punto sus conclusiones son válidas.

Esta es la respuesta que venía a escribir. Un ejemplo es "aproximación de ángulo pequeño" pecado ⁡ X ≈ X , donde el siguiente término de la serie va como X 3 . Entonces, para ángulos menores a 0.1 radianes, la aproximación de ángulo pequeño da un error fraccionario mejor que 1%.
¿Podría dar más detalles sobre cómo truncar la expansión de la serie y delimitar los términos truncados?
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