¿Cuánto afecta la elasticidad del material de las cuerdas a la tensión en el tono de un instrumento de cuerda?

Si considera la rigidez a la flexión de la cuerda, termina con la ecuación de la cuerda rígida

$$T\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} - EI\frac{\partial^4 w}{\partial x^4} = \mu \frac{\partial^2 w}{\partial t^2}\, ,$$

dónde$T$es la tensión,$E$el módulo de Young del material,$I$el segundo momento de área para la sección transversal, y$\mu$la densidad de masa lineal. Esta ecuación se puede escribir en forma no dimensional como

$$\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} - \epsilon\frac{\partial^4 u}{\partial \xi^4} - \kappa^2 \frac{\partial^2 w}{\partial \tau^2} = 0\, ,$$

con$u = w/L$,$\tau=\omega t$,$\kappa^2 = L^2 \mu\omega^2/T = L^2 \omega^2/c^2$,$\epsilon = EI/(L^2 T)$,$L$es la longitud de la cuerda,$\omega$una frecuencia característica del sistema, y$c$es la velocidad de fase para la cuerda ideal.

Note que cuando$\epsilon$es pequeña esta ecuación se convierte en la ecuación de onda.

Para encontrar las frecuencias de vibración, este problema se convierte en el siguiente problema propio

$$\frac{\partial^2 U}{\partial \xi^2} - \epsilon\frac{\partial^4 U}{\partial \xi^4} - \kappa^2 U = 0\, .$$

Este problema tiene una solución analítica pero la ecuación característica no es resoluble analíticamente. Puede usar un método de perturbación para obtener la siguiente aproximación de primer orden

$$\kappa^2 \approx n^2 \pi^2 + \epsilon n^4 \pi^4 \, .$$

Para una cuerda G en una guitarra eléctrica (196 Hz), el parámetro de perturbación$\epsilon$esta alrededor$9.725 \times 10^{-6}$. Entonces, en general, este parámetro es pequeño y la aproximación de cadena ideal no es tan mala.

En términos de frecuencia, esto se traduce en lo siguiente

$$f_n = \frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}\sqrt{1 + \frac{n^2 \pi^2 E I}{L^2T}}\, .$$

Referencias

• Zapata, NG (2021). Diseño de un diapasón utilizando la ecuación de cuerdas rígidas . preimpresión de arXiv arXiv:2106.13030. ( Descargo de responsabilidad : este es mi propio trabajo).

• Francés, RM (2012). Tecnología de la Guitarra . Springer Science & Business Media.

• Fletcher, NH y Rossing, TD (2012). La física de los instrumentos musicales. Springer Science & Business Media.

En realidad, las oscilaciones transversales no son posibles sin cambiar la longitud de la cuerda. En la posición de equilibrio su longitud es la línea recta entre 2 puntos fijos. Cualquier otro camino tiene mayor longitud, y eso debe suceder durante las oscilaciones transversales.

Combinando ondas transversales y longitudinales:

$$\frac{\partial^2 u_y}{\partial t^2} = \frac{T}{\rho}\frac{\partial^2 u_y}{\partial x^2}$$ $$\frac{\partial^2 u_x}{\partial t^2} = \frac{E}{\rho}\frac{\partial^2 u_x}{\partial x^2} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial T}{\partial x}$$

Se supone para oscilaciones transversales que la tensión en la cuerda es prácticamente constante, lo que significa que las ondas longitudinales descritas por la segunda ecuación son despreciables porque$\frac{\partial T}{\partial x}\approx 0$.

Si$E$es demasiado pequeño (como para la cuerda de goma) que la aproximación ya no es válida, y la primera ecuación no es exactamente una ecuación de onda porque$T = T(x)$, y$\frac{T}{\rho}$ya no es una constante.