Inflar un globo (resistencia a la expansión)

Question

Inflar un globo (resistencia a la expansión)

aire
Física
presión
elasticidad
termodinámica
ciencia material

avanwieringen

Estoy haciendo un cálculo rápido sobre cómo calcular la presión necesaria para inflar un globo perfectamente esférico a un volumen determinado, sin embargo tengo dificultades con el hecho de que el globo (goma) tiene resistencia al estiramiento y cómo esto afecta la presión necesaria. Creo que tiene que ver con el módulo E del material, pero no puedo pensar en una forma adecuada de calcularlo.

Respuestas (3)

Inflar un globo (resistencia a la expansión)

Almiar · Answer 1

El tensor de tensión completo, aunque preciso, es en gran medida innecesario para resolver este problema, ya que es un recipiente a presión de paredes delgadas .

Suponiendo que el globo es esférico, la deformación se puede calcular a partir de los radios actual e inicial.

ϵ = \frac{r}{r_{0}} - 1

$\epsilon=\frac{r}{r_0}-1$

La tensión se puede encontrar utilizando el módulo de elasticidad:

σ = mi ϵ

$\sigma=E\,\epsilon$

La ecuación de presión de la pared delgada puede llevarlo a ejercer presión, si conoce el espesor, al equilibrar la presión hacia afuera en el interior con la tensión hacia adentro a lo largo de un gran círculo de la esfera:

π r^{2} PAGS = 2 π r σ t

$\pi\,r^2\,P=2\,\pi\,r\,\sigma\,t$

PAGS = \frac{2 σ t}{r}

$P=\frac{2\,\sigma\,t}r$

Debido a que los globos se vuelven más delgados a medida que se estiran, el grosor en realidad variará. El caucho normalmente tiene una relación de Poisson de 0,5, lo que significa que mantiene un volumen constante mientras se deforma. Entonces podemos calcular el espesor en términos del radio:

t r^{2} = t_{0} {r_{0}}^{2}

$t\,r^2=t_0\,{r_0}^2$

t = t_{0} {(\frac{r_{0}}{r})}^{2}

$t=t_0\,\left(\frac{r_0}{r}\right)^2$

Poniéndolos todos juntos:

PAGS = \frac{2 mi (r - r_{0}) t_{0} r_{0}}{r^{3}}

$P=\frac{2\,E\,\left(r-r_0\right)\,t_0\,r_0}{r^3}$

Para ver cómo se ve esto, podemos hacer una gráfica genérica:

Como puede ver, hay una presión máxima después de la cual se vuelve cada vez más fácil inflar el globo. Podemos resolver esta presión máxima igualando la derivada con cero, resolviendo para r y reemplazando:

0 = \frac{d PAGS}{d r} = 2 mi t_{0} r_{0} (\frac{1}{r^{3}} - 3 \frac{r - r_{0}}{r^{4}})

$0=\frac{dP}{dr}=2\,E\,t_0\,r_0\left(\frac1{r^3}-3\frac{r-r_0}{r^4}\right)$

r = \frac{3}{2} r_{0}

$r=\frac32\,r_0$

{PAGS}_{metro a X} = \frac{8 mi t_{0}}{27 r_{0}}

$P_{max}=\frac{8\,E\,t_0}{27\,r_0}$

Por supuesto, esto supone un módulo de elasticidad constante, que nunca se cumple para una deformación lo suficientemente grande.

Yanín Guerra · Answer 2

Lo que te estás perdiendo es el hecho de que $p=\int \tau \cdot \hat n dA$ , dónde $\tau$ es el tensor de tensión. Le sugiero que consulte el libro de Landau: Teoría de la elasticidad. Resuelve el problema de una esfera hueca con diferentes presiones.

Dra. Colvile · Answer 3

La trama genérica anterior tiene alguna verificación experimental en https://www.youtube.com/watch?v=fwh-i0WB_bQ . Es una pena que no hayan medido el radio del globo, pero si asumimos una tasa de expansión constante, la forma del gráfico trazado en función del tiempo debería ser similar. De hecho, muestra claramente que la presión máxima inicial, que se muestra arriba, es causada por el pequeño radio de curvatura de la superficie del globo, seguida de una disminución a aproximadamente constante a medida que aumenta el radio de curvatura. La desviación de la suposición de módulo de elasticidad constante hace que la presión comience a aumentar nuevamente.

Inflar un globo (resistencia a la expansión)

avanwieringen

Respuestas (3)

Almiar

Yanín Guerra

Dra. Colvile

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