¿Por qué los electrones ocupan estados de energía discretos?

Dejar$E = KE +U$Sea la energía total. Sabemos que el operador de cantidad de movimiento y el operador de energía total son

$$\hat{p} = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \\\\\\\\\\\\ \hat{E} = i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}$$ . Esto nos lleva a escribir $$\hat{E} = \hat{KE} + \hat{U} \implies \hat{E} = \dfrac{\hat{p}^2}{2m} + U \implies \hat{E} = i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t} = - \dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} +U$$ Este operador especial es el operador hamiltoniano $\hat{H}$.

La ecuación de Schrödinger en estado estacionario viene dada por:

$$\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \dfrac{2m}{\hbar^2} (E - U)\psi = 0$$ . Para resolver la ecuación, se tendrán que satisfacer "condiciones de contorno" que restringen los valores de $E$que sólo satisfacen la ecuación. Esto es más evidente en esta forma de ecuación. $\hat{H} \psi_n = E_n \psi_n$. por cada duro $\psi$, debe haber valores propios de energía correspondientes. Por lo tanto, solo hay ciertos estados de energía que son válidos para ciertas "condiciones de contorno". $^1$".

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$^1$Vamos a tomar el famoso problema de partículas en una caja .

Aquí las condiciones de contorno son que la probabilidad de que la partícula se encuentre fuera de la caja es$0$es decir$\psi = 0$para$x \leq 0 \quad \& \quad x \geq L$;$L$siendo la longitud de la caja. . Cuando resuelves la ecuación usando esta condición

$$\psi = A\sin\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar} x$$ ; usando la condición se infiere que $\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar} L = n\pi$que finalmente proporciona la energía $E = \dfrac{n^2\pi^2 \hbar^2}{2ml^2} \qquad n=1,2,3\cdots$. Por lo tanto, puede ver que la energía solo puede tomar ciertos valores para satisfacer las "condiciones de contorno".

Un electrón en un átomo está en un estado ligado. Dado que es una partícula acotada, puede analizar el problema con una partícula en una caja de potencial unidimensional. Considere una red cristalina unidimensional con constante de red$L$. Suponemos que la partícula es libre de moverse dentro de esta distancia y no puede salir. Entonces tenemos dos barreras potenciales que tienden al infinito en los puntos$x=0$y$x=L$como se muestra en la figura. Este potencial infinito es de mencionar que el electrón está bien confinado en esa región y no puede salir al exterior.

Dentro de la región, la energía potencial es cero y fuera de ella es infinita. Entonces, podemos definir el potencial como

$$V(x)=0\space for\space 0<x<L;\space V(x)=\infty \space for\space x<0, \space x>L$$

Ahora, definimos la función de onda de un electrón en función de la distancia$\psi(x)$. Entonces, la ecuación de Schrödinger se puede escribir como

$$\frac{d^2 \psi(x)}{dx^2}+\frac{2mE}{\bar h^2}\psi(x)=0$$

Suponemos que la solución general es de la forma:

$$\psi(x)=A\sin kx+B\cos kx$$

dónde$A$y$B$son constantes arbitrarias, que se determinarán a partir de las condiciones de contorno.

Ahora vamos a aplicar las condiciones de contorno:

En$x=0$, la barrera de potencial es infinita. Por lo tanto, la función de onda se anula en$x=0$ya que hay una probabilidad cero de encontrar el electrón. Además, el electrón no puede estar presente en$x=L$y por lo tanto allí también se desvanece la función de onda. Ya hemos mencionado que al electrón solo se le permite moverse entre los puntos de la red. Entonces la función de onda está localizada en la región 0

$$\psi(x=0)=0; \space \psi(x=L)=0$$

La primera condición de frontera nos da la constante$B=0$. Entonces, tenemos que encontrar el valor de$A$solo. La segunda condición de frontera produce$A\sin kL=0$. Pero$A\neq 0$ya que esto no nos rendirá nada. Por eso

$$\sin kL=0$$

lo que da$\displaystyle{kL=n\pi\Rightarrow k=\frac{n\pi}{L}}$

dónde$n=1,2,3,\cdots$.$n\neq 0$desde$n=0$($k=0$) significa la función de onda$\psi(x)=0$por todas partes dentro de la caja y vinimos todo el camino para nada. Entonces$n$sólo puede tener números enteros positivos.

Además, cabe señalar que la constante de propagación tiene valores integrales correspondientes a diferentes valores de$n$. Por lo tanto, la función de onda también tiene valores integrales dados por

$$\psi_n(x)=A\sin \frac{n\pi x}{L};\space\space\space 0<x<L$$ .

Nuestro electrón está bien confinado dentro de la región$0<x<a$. Por lo tanto, la probabilidad de encontrar un electrón en esta región es 1. A esto se le llama normalizar la función de onda, lo que nos dará el valor de$A$.

$$\int_0^a |\psi_n|^2 dx=1$$

o

$$A^2\int_0^a sin^2 \left(\frac{n\pi x}{L} \right) dx=1$$ .

Por integración, obtenemos

$$A=\sqrt{\frac{2}{L}}$$

Entonces la función de onda normalizada se convierte en

$${\color{green}{\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L}} };\space\space\space 0<x<L$$ .

y$n=1,2,3,\cdots$

Ahora, usando este valor y sustituyéndolo en la ecuación de Schrödinger nos da el valor de la energía del electrón correspondiente a la función de onda$\psi_n(x)$.

De este modo,

$${\color{blue}{E_n=\frac{h^2n^2}{8mL^2}} } ;\space \space \space n=1,2,3,\cdots$$

Por lo tanto, tenemos que los niveles de energía de los electrones están cuantificados. Entonces, los niveles de energía son discretos, no continuos como se esperaba desde un punto de vista clásico.

El nivel de energía más bajo posible es

$$E_1=\frac{h^2}{8mL^2}$$ .

De la ecuación de energía anterior es claro que

$$E_n=n^2E_1$$

Esto significa que el espacio entre dos niveles de energía consecutivos aumenta a medida que

$$(n+1)^2E_1-n^2E_1=(2n+1)E_1$$

Por lo tanto, el diagrama de nivel de energía se ve así

Entonces, como dice la mecánica clásica, no puede haber un rango continuo de niveles o bandas de energía. Sin embargo, si la partícula se vuelve más pesada y la longitud del cristal es muy grande, los niveles de energía se espaciarán muy juntos y eventualmente se volverán continuos. por ejemplo, si$L=1cm$, entonces

$$E_n-E_{(n\pm 1)}\sim 3.5\times 10^{-19} eV$$

El espectro de energía para tales casos parece prácticamente continuo. Así, la ecuación de onda predice que las partículas ligadas (electrones) están asociadas con un espectro de energía discreto y las partículas libres con un espectro continuo.

Un electrón es una partícula mecánica cuántica y, por lo tanto, debe obedecer principios mecánicos cuánticos. La discreción es una especialidad de la mecánica cuántica que aparece gradualmente como un continuo tal como lo vemos en nuestra vida cotidiana. Esta es la esencia del principio de correspondencia de Bohr que establece que la mecánica cuántica se reduce gradualmente a la mecánica clásica en el límite de los grandes números cuánticos.

¿Por qué no puede haber ninguna banda de energía continua en un átomo?

Esta es la razón básica por la que se tuvo que inventar la mecánica cuántica .

Una vez que se descubrió la existencia de cargas positivas y negativas, las ecuaciones de Maxwell, cuando se resuelven para un modelo planetario de una carga positiva central y una negativa en órbita, son completamente inestables, en contraste con el problema gravitatorio. Esto se debe a que las cargas aceleradas irradian radiación electromagnética y pierden energía. Un electrón en órbita en el campo de un núcleo irradiará energía continuamente y caerá sobre el núcleo hasta donde llega un modelo clásico.

Esto significa que los átomos serían una sopa de cargas positivas y negativas y cuando un electrón cayera sobre un ion, se observaría un espectro continuo.

Esto no es lo que se observó. Los átomos de hidrógeno tenían un espectro electromagnético distinto, formado por líneas que podían ajustarse matemáticamente muy bien mediante la serie de Balmer y Lyman.

Por eso se propuso el modelo de Bohr , un modelo planetario del átomo de hidrógeno, que forzaba órbitas estables, cuantizadas, y podía derivar las series que aparecían experimentalmente.

Después vino la ecuación de Schrödinger y la mecánica cuántica, que dieron un modelo teórico que describe la naturaleza en el microcosmos y es el nivel subyacente de todas las teorías clásicas.