Cuando un planeta tiene una alta gravedad, ¿es imposible construir y lanzar con éxito un cohete químico al espacio?

Nunca se vuelve imposible per se , pero en algún momento podría haber tanta gravedad que la construcción de un cohete funcional estaría más allá de nuestra capacidad actual para diseñar algo que pudiera funcionar. Es decir, podría requerir cantidades impracticablemente enormes de combustible o requerir materiales más fuertes de los que podemos construir.

Solo hay un par de ecuaciones asombrosamente simples que gobiernan esto (bajo algunas condiciones razonablemente idealizadas). Primero, comprenda que para liberarse de la gravedad de cualquier planeta, una nave debe alcanzar una velocidad de escape ($v_e$). Para un cuerpo esférico, esto viene dado por

$$v_e = \sqrt{2GM\over r}$$

Dónde:

• $G$es la constante gravitatoria
• $M$es la masa del cuerpo
• $r$es la distancia desde el centro de gravedad (asumiendo que comenzamos desde la superficie del planeta, esto es solo el radio del planeta).

Ahora, si queremos dejar este planeta, debemos pasar de no movernos en absoluto a movernos al menos así de rápido. De lo contrario, caeremos de nuevo al planeta y nos estrellaremos, o (si tenemos suerte) quedaremos atrapados en una órbita alrededor del planeta. Este cambio en la velocidad se llama "delta v" o$\Delta v$.

Hay una embarcación disponible.$\Delta v$viene dada por la ecuación del cohete de Tsiolkovsky :

$$\Delta v = v_x \ln \frac{m_0}{m_1}$$

Dónde:

• $v_x$es la velocidad de escape efectiva (esencialmente, la eficiencia de combustible del cohete)
• $m_0$es la masa total inicial de la nave con combustible
• $m_1$es la masa final de la nave sin combustible

Entonces, debemos diseñar nuestra nave para tener al menos suficiente$\Delta v$para alcanzar la velocidad de escape (además de lo suficiente para hacer algo interesante después, como aterrizar en el planeta de destino o superar cualquier resistencia atmosférica...), pero como mínimo requerimos:

$$\begin{align} \Delta V &> v_e \\ v_x \ln \frac{m_0}{m_1} &> \sqrt{2GM\over r} \end{align}$$

Esto significa:

• lanzar una carga útil más pequeña reduce el combustible requerido
• motores más eficientes ayudan mucho

En cualquier caso, no hay forma de aumentar la masa.$M$del planeta tal que esta ecuación no se puede resolver transportando más combustible, haciendo motores más eficientes, haciendo una carga útil más liviana, etc. Podrías terminar con una solución absurda .

Sería posible, aunque mucho más complicado que en la tierra.

Los cohetes químicos en la Tierra entregan ~3% de su peso de lanzamiento a la órbita terrestre baja. En este planeta superpesado, entre el 0,1 y el 0,01 % del peso de lanzamiento podría enviarse a una órbita baja.

Si bien la exploración humana sería extremadamente difícil en tales condiciones, sería posible explorar el universo con pequeñas sondas automáticas.

De hecho, un cambio tan dramático haría más difícil llegar al espacio, en un sentido definido con precisión. La medida más fácil de cuán 'difícil' es llegar al espacio es la velocidad de escape, que está determinada por la masa del planeta.$M$y radio$R$como

$$v_\text{esc}=\sqrt{\frac{2GM}R}.$$ Para un planeta como el que mencionas, la velocidad de escape aumenta en un factor de $\sqrt{17/2}\approx3$con respecto a la velocidad de escape de la Tierra $v_\text{E}$.

La razón por la que esto importa es que la masa total$M$de un cohete que enviará una carga útil de masa$m$al espacio depende exponencialmente de la velocidad de escape. (Más exactamente, sobre el cambio de velocidad requerido,$\Delta v$, que es del orden de$v_\text{esc}$.) Esta relación se conoce como la ecuación del cohete de Tsiolkovsky y es uno de los principios fundamentales de la ciencia espacial; se afirma que

$$M=m\exp\left(\frac{v_\text{esc}}{v_\text{exh}}\right),$$ dónde $v_\text{exh}$es la velocidad de escape.

Debido a esta dependencia exponencial, si$v_\text{esc}$sube desde$v_\text{E}$por un factor de tres, la masa del cohete aumentará por un factor de

$$\left(e^{v_\text{E}/v_\text{exh}}\right)^{3},$$ que pueden ser mucho más que tres. Para poner algunos números, $v_\text{E}\approx11.2 \,\text{km}/\text s$mientras que los propulsores líquidos pueden llegar hasta aproximadamente $v_\text{exh}\approx 5 \,\text{km}/\text s$. Cuando se trata de exponenciales, los detalles sí importan, pero si pones esto, obtienes un factor general del orden de $$(e^2)^3\approx 400.$$

Esto significaría, por ejemplo, que un gigante como el Saturno V de 3.000 toneladas podría transportar alrededor de 100 kg de carga útil, aproximadamente del tamaño de un ' minisatélite' , en lugar de las 45 toneladas de una misión Apolo completa.

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Ahora, hay varias formas de eludir esta restricción, muchas de las cuales son tecnológicas pero algunas son físicas. La más obvia, para mí, es que el tamaño de la atmósfera también cambiará. Obviamente, esto depende de la cantidad y composición de la atmósfera del exoplaneta, pero en igualdad de condiciones , un planeta más masivo comprimirá su atmósfera en una capa más delgada. Este cambio en la escala de longitud es lineal: como primera aproximación , es inversamente proporcional a la aceleración de la gravedad en la superficie,

$$g_0=\frac{GM}{R^2}$$ que es aproximadamente 4 veces la de la Tierra para el exoplaneta en cuestión.

Por lo tanto, si todas las demás cosas fueran iguales, si la composición atmosférica y la presión superficial fueran las mismas que las de la Tierra, entonces solo tendría que subir, digamos, 40 km para la órbita baja del exoplaneta, en lugar de los ~160 km de la Tierra baja. orbita. Esto es importante, porque reduce radicalmente la$\Delta v$necesarios para entrar en órbita, y esto vuelve a entrar en la dependencia exponencial de la ecuación de Tsiolkovsky. El$\Delta v$llegar a una altura$h$es aproximadamente

$$\Delta v=\sqrt{\frac{2GM}R-\frac{2GM}{R+h}}=\sqrt{\frac{2GMh}{R+h}},$$ y esto ahora ha bajado , ligeramente, para Kepler-10c. (Todavía necesita acelerar para permanecer en órbita, pero eso depende de la velocidad de rotación del planeta, que es otra variable completamente desconocida).

Entonces, para resumir, será ciertamente más difícil ir al espacio desde un planeta así, pero bajo ciertas circunstancias puede ser más fácil llegar a la órbita. Sin embargo, el problema con todo esto es que los detalles, sobre los detalles específicos del planeta y su atmósfera, y también sobre lo que quieres hacer, sí importan, debido a la dependencia exponencial, que es difícil de entender hasta que te topas con un buen número de paredes como esta. Como menciona Phil Frost, xkcd what-if es un buen lugar para leer sobre esto, pero en general, vale la pena sentarse y prestar atención cuando una variable de interés está en el exponente.