¿Qué es lo más rápido que puede llegar una nave espacial usando la asistencia por gravedad?

Lo único que debe tener en cuenta es que para realizar una maniobra de asistencia por gravedad, debe poder ingresar a una órbita hiperbólica alrededor de un cuerpo determinado que se mueve en relación con su destino. Y, para estar en tal órbita, hay un rango específico de velocidades para cada objeto que debes tener (dependiendo de la masa del objeto). Entonces, lo más rápido que puede llegar con la asistencia de la gravedad es mucho menos que las velocidades relativistas porque a velocidades relativistas, no podría entrar en una órbita hiperbólica adecuada.

Es cierto que a cualquier velocidad alta, un sobrevuelo constituye una órbita hiperbólica; sin embargo, para usar una honda gravitacional, debe entrar en contra del movimiento del objeto y salir con el movimiento desde el punto de vista de ese objeto. A velocidades relativistas y para la mayoría de los cuerpos regulares, su órbita se parecería mucho a una línea recta, no podría haber ganancia de velocidad.

Una buena asistencia de gravedad funciona si puede asegurarse de que su trayectoria hiperbólica minimice el ángulo$\theta$entre la trayectoria del cuerpo de asistencia y la trayectoria de salida de la nave espacial. Está dado por:

$$\theta=cos^{-1}(1/e)$$

Dónde$e$es la excentricidad de la órbita y debe satisfacer$e\geq1$. A partir de esto, se puede ver que una trayectoria parabólica es mejor ya que la trayectoria de salida está directamente en línea con la trayectoria del cuerpo. También podemos ver que como$e\rightarrow\infty$, la trayectoria de salida está en ángulo recto con la trayectoria del cuerpo y no recibimos ayuda de la asistencia. Además, a medida que su velocidad aumenta, forzará$e$para volverse más grande a menos que aumente significativamente la masa de cada objeto subsiguiente. Entonces, para un cuerpo de asistencia normal, como una estrella o un planeta, viajar a velocidades relativistas dará como resultado una desviación orbital mínima; prácticamente no habrá transferencia de impulso, lo que hace que el aumento de velocidad sea aún menor.

Lo más rápido que una nave espacial puede llegar a utilizar la asistencia por gravedad depende en gran medida de la mayor masa de los objetos que utilice. Sin embargo, no puedo darle una estimación de un número porque debido a la absoluta impracticabilidad de usar la asistencia de la gravedad para lograr velocidades extremas, nosotros (los científicos de cohetes) nunca hemos intentado calcular un límite teórico. Sin embargo, puedo garantizarle que sin el uso de objetos de alta densidad (estrellas de neutrones, agujeros negros, etc.), ninguna nave espacial alcanzará velocidades cercanas a la velocidad de la luz solo con tirachinas de gravedad.

Esta limitación vendría impuesta por la diferencia de velocidad relativa entre el punto de partida y el objeto que se utiliza para la asistencia por gravedad.

para robar el ejemplo de Wikipedia: imagina que tienes un tren que viene hacia ti a 50 mph. Lanzas una pelota al frente del tren a 30 mph.

Desde su perspectiva, la pelota se movía 30 mph al entrar y 130 mph al salir (habiendo rebotado en el tren). Desde la perspectiva del tren, la pelota se acercó a 80 mph y se fue a 80 mph.

Entonces, la velocidad máxima, vista desde el lanzador, es una combinación de la velocidad inicial y la velocidad relativa del objeto en cuestión.

Con objeto infinito en perfecta alineación: no hay más límite que la relatividad. Cada intercambio toma intercia del planeta y se la da a la nave espacial. El factor limitante es cuánto puede extraerse por interacción y cuántas interacciones útiles pueden ocurrir.

Esta es la razón por la cual las sondas Voyager se lanzaron cuando lo fueron: Júpiter, Saturno y Urano se alinearon de tal manera que se hizo posible un "gran recorrido" utilizando los tres para ayudar a la gravedad.

Hay otras respuestas allí, pero quería dar una respuesta en términos de la velocidad de la nave espacial, la velocidad del planeta y la gravedad de la superficie del planeta.

TL; DR El mayor aumento de velocidad posible en una asistencia por gravedad es

$$\frac{2sgr}{gr + s^2}$$

dónde$s$es la velocidad inicial de la nave espacial en relación con el planeta,$r$es el radio del planeta, y$g$es la gravedad superficial del planeta.

Una honda gravitatoria es cuando una nave espacial usa la gravedad de un planeta para ganar velocidad en relación con el sistema solar. En el marco de referencia del planeta, la nave espacial vuela junto a él en una trayectoria hiperbólica, entrando y saliendo con la misma velocidad. Debido a que el planeta se está moviendo, la velocidad de la nave en relación con el sistema solar cambia. Esto se demuestra en el siguiente gif de wikipedia.

Analicemos el movimiento de la nave espacial en relación con el planeta. Situamos el centro de la hipérbola en el origen, y el foco de la hipérbola es el centro del planeta, que situamos en$(c, 0)$.

Dado que la velocidad es la misma mucho antes que mucho después de que la nave abandone el planeta, el cambio máximo de velocidad se produce si se maximiza el cambio de ángulo, lo que sucede cuando la nave apenas roza la superficie del planeta. Por lo tanto, si el radio del planeta es$r$, el vértice de la hipérbola está en$(c - r, 0)$.

La ecuación de la hipérbola es de la forma

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ con$a = c - r$, y$b^2 = c^2 - a^2$.

Ahora, el cambio de velocidad de la nave con respecto al planeta es el doble de la inicial.$x$componente de la velocidad, o$2 s \frac{a}{c}$. Para poner esto en términos de las propiedades físicas del planeta y la velocidad inicial, analizaremos la aceleración gravitatoria en el vértice.

Dejar$s$Sea la velocidad de la nave en el límite mucho antes de que la nave alcance el planeta. Inicialmente, la nave viaja a una velocidad$s$a lo largo de la asíntota$y = \pm \frac{b}{a} x$. Esta asíntota es la distancia.$b$del foco Por lo tanto, el segmento de línea entre la nave y el planeta barre el área a la velocidad$\frac{1}{2} b s$. Por la segunda ley de Kepler , la nave espacial barre un área a la misma velocidad cuando se encuentra en el vértice de la hipérbola, a una distancia de$c-a = r$del planeta Entonces la velocidad$s_0$de la nave en este momento está dada por$\frac{1}{2} b s = \frac{1}{2} r s_0$, cuyos rendimientos$s_0 = \frac{b}{r} s$.

Derivando la ecuación de la hipérbola dos veces con respecto al tiempo, obtenemos

$$\left(x \frac{d^2x}{dt^2} + \left(\frac{dx}{dt}\right)^2\right) \frac{1}{a^2} = \left(y \frac{d^2y}{dt^2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2\right) \frac{1}{b^2}$$

En el vértice tenemos$x = a, \frac{dx}{dt} = 0, y = 0, \frac{dy}{dt} = s_0$, y la aceleración gravitatoria está enteramente en el$x$dirección, así$\frac{d^2x}{dt^2} = g$, y esto se convierte

$$g = s_0^2 \frac{a}{b^2}$$

O, sustituyendo en nuestra fórmula por$s_0$

$$g = s^2 \frac{a}{r^2}$$

Reorganizar nos da$a$, y por lo tanto$c$y$\frac{a}{c}$, en términos de$g$,$s$, y$r$.

$$\frac{a}{c} = \frac{a}{a + r} = \frac{1}{1 + \frac{r}{a}} = \frac{1}{1 + \frac{s^2}{gr}}$$

Entonces el cambio de velocidad es

$$\frac{2sgr}{gr + s^2}$$

en el$x$-dirección. Si esta dirección es casi la misma que la dirección inicial de la nave espacial en el marco de referencia del sistema solar, entonces este cambio de velocidad equivale a un aumento absoluto de la velocidad.

Una limitación clave de cuánto cambio de velocidad puede ocurrir en una maniobra de tirachinas es la cantidad de tiempo que la nave espacial pasa en la región cercana al planeta. El cambio de velocidad está relacionado con la fuerza x tiempo/masa. A muy alta velocidad, la nave espacial dedica muy poco tiempo a escuchar el planeta. Además, a velocidades muy altas, el cambio de velocidad es muy cercano a la perpendicular a la dirección de movimiento de la nave espacial, lo que significa que la velocidad de la nave espacial no cambiará mucho; sólo su dirección cambia un poco.

Otra limitación clave es el radio del planeta. Si el planeta fuera extremadamente masivo y compacto (como un agujero negro), la nave espacial podría acercarse mucho al centro de masa del planeta y experimentar un gran cambio de dirección que podría sumar hasta el doble de la velocidad orbital del planeta a la nave espacial. . Por supuesto, incluso en ese caso, una aproximación demasiado cercana daría como resultado fuerzas de marea que podrían destrozar la nave espacial.

Así que tienes razón: "Por ejemplo, si una nave espacial se mueve a velocidades relativistas, probablemente los objetos de densidad normal no la aceleren mucho".

Tomemos un ejemplo simple: tenemos un planeta y una nave espacial que se aproxima perpendicularmente al movimiento del planeta. La nave espacial pasa detrás del planeta, por lo que su trayectoria se desvía en la dirección del movimiento de los planetas. Dado que la nave espacial pasa detrás del planeta, su gravedad actúa para reducir la velocidad del planeta un poco. Así que el planeta pierde un poco tanto de impulso como de energía. Ambos se imparten en la nave espacial, acelerándola.

Tenga en cuenta que el único preliminar es que la velocidad de la nave espacial es mayor que su velocidad de escape del planeta (de lo contrario, no tendríamos un encuentro, sino una órbita elíptica). No importa cuán rápida sea la nave espacial, obtendrá impulso y energía cinética del encuentro .

Por lo tanto, realmente no hay límite en la velocidad a la que puede llegar a través de las asistencias por gravedad. Es solo que cuanto más rápido vas, menos tiempo toma tu encuentro, lo que reduce la cantidad de energía que puedes obtener de un solo encuentro. Pero varios encuentros pueden sumar su energía, como se hizo con las maniobras de sobrevuelo de las Voyagers . Cada encuentro desvió los caminos de los Voyagers solo un poco, pero la suma de los encuentros fue suficiente para catapultar las naves espaciales fuera de nuestro sistema solar.

Ahora, llevando esto a velocidades relativistas, vemos que la masa aparente de la nave espacial aumenta con su velocidad, mientras que el tiempo de encuentro tiene un límite inferior dictado por la velocidad de la luz. Dado que la transferencia de momento es fuerza gravitacional multiplicada por tiempo, y la fuerza gravitatoria es proporcional a la masa, la nave espacial relativista tomará más momento y energía del planeta cuanto más rápido entre en el encuentro .