¿Cuándo se utilizó por primera vez el método de Laguerre para aproximar raíces?

Las páginas escaneadas pueden estar más fácilmente disponibles aquí .

De hecho, el método se presenta como una novela; sólo se compara con el método de Newton. Se presenta por primera vez como un método para encontrar recintos de raíces y aproximaciones de las raíces más grandes y más pequeñas de polinomios.

bajo la condición de que todas las raíces sean reales.

Bajo esta condición, el "truco" habitual en la derivación también tiene sentido, como cuando$\alpha$es la raíz más grande y$x$es una aproximación cercana, entonces$\frac1{x-\alpha}$es grande en

$$G=\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac1{x-\alpha}+\frac1{x-\beta}+...$$ y $$H=\frac{f'(x)^2-f(x)f''(x)}{f(x)^2}=\frac1{(x-\alpha)^2}+\frac1{(x-\beta)^2}+...$$ y los términos restantes son pequeños y del mismo signo y, por lo tanto, pueden considerarse aproximadamente iguales. Poniéndolos iguales a cero, como Laguerre discute primero, da en la primera ecuación el método de Newton y en la segunda $$0<\frac1{(x-\alpha)^2}\le H \\ \implies \alpha\le x-\frac{|f(x)|}{\sqrt{f'(x)^2-f(x)f''(x)}} ~\text{ or }~ x+\frac{|f(x)|}{\sqrt{f'(x)^2-f(x)f''(x)}}\le \alpha$$ dando una región de exclusión de raíz alrededor$x$.