¿Cuándo es el primer uso del método de Newton para encontrar raíces?

TL; DR. Este es uno de esos casos en los que el "primer uso" depende mucho de lo que se quiera decir. Dependiendo de eso, se puede atribuir a los babilonios (c. 1600 aC), al-Tusi (c. 1250), Briggs (1633), Newton (1669), Raphson (1690) o Simpson (1740).

La regla babilónica (1800-1600 a. C.) para aproximar raíces cuadradas convertidas a notación moderna da la misma fórmula que el "método de Newton", consulte Aproximaciones de raíces cuadradas en las matemáticas antiguas de Babilonia por Fowler y Robson . No viene ni siquiera con una vaga anticipación de las concepciones involucradas en el método moderno. Heron describe la misma regla en Metrica (c. 50 d. C.), y se llama "método de Heron" en libros más antiguos. Heron también proporciona una regla relacionada para las raíces cúbicas, que no se reduce al "método de Newton", lo que sugiere que la conexión no es demasiado profunda, consulte Comentarios sobre la fórmula de iteración de raíces cúbicas de Heron .

Para conocer la parte "más cálida" de la historia, consulte Desarrollo histórico del método Newton-Raphson de Ypma :

El algebraista del siglo XII Sharaf al-Din al-Tusi [13] conocía un método algebraicamente equivalente al método de Newton, y el matemático árabe del siglo XV Al-Kashi utilizó una forma de este para resolver$x^p- N = 0$encontrar raíces de$N$. En Europa occidental, Henry Briggs utilizó un método similar en su Trigonometria Britannica, publicada en 1633, aunque parece que Newton no lo sabía. "

En cambio, trabajó a partir de un método perturbativo más engorroso para resolver ecuaciones polinomiales presentado por Vieta en De numerosa potestatum (c.1600), con inspiración adicional de un método muy antiguo de posición falsa, también conocido como Regula Falsi . Está cerca de lo que ahora se llama el método de la secante. Una versión simplificada del método de Vieta fue publicada por van Schooten en 1646 y reproducida por Oughtred en Clavis Mathematica (1647), esta fue la fuente de Newton.

Los comentarios detallados al respecto se encuentran en el cuaderno inédito de 1664 de Newton, y en 1669 linealizó los polinomios sucesivos de Vieta para producir algo convertible en la versión moderna en De analysi per aequationes numero terminorum infinita (más conocido por la primera formulación del método de fluxiones). Pero, como con los babilonios, Heron o al-Tusi, hay poca evidencia de que "su" método fuera el moderno conceptualmente. Aquí está Ypma:

"El tratado de Newton... es la primera discusión registrada por Newton de lo que podemos reconocer como un ejemplo del método de Newton-Raphson (1.1), aunque la formulación difiere considerablemente de la forma ahora convencional, los cálculos son mucho más tediosos que en el formulación actual, y el método se da sólo en el contexto de resolver una ecuación polinomial. No se utiliza ningún cálculo en la presentación, y las referencias a las derivadas fluxionales aparecen por primera vez más adelante en ese tratado, lo que sugiere que Newton consideraba esto como un procedimiento puramente algebraico. En varios otros casos, se sabe que Newton usó métodos y notaciones más tradicionales en un esfuerzo por hacer que sus ideas fueran más accesibles para una audiencia más amplia."

El manuscrito no se publicó hasta 1711, pero las copias privadas circularon antes y el contenido relevante se reproduce en el Tratado de álgebra histórica y práctica de Wallis (1685). En Principia (1687) se aplica un procedimiento similar para resolver la ecuación de Kepler$x-e\sin x=M$, pero nuevamente " no hay evidencia clara de que Newton asociara su técnica con el uso del cálculo. Hay numerosas formas de derivar este proceso que no requieren el uso del cálculo ".

Raphson simplificó aún más la técnica en 1690 al eliminar completamente los polinomios sucesivos y hacer que el esquema fuera iterativo. Ya sentía que el método resultante era diferente al de Newton. Sin embargo, la concepción moderna con derivadas (fluxiones) no aparece hasta los Ensayos de Simpson sobre varios temas curiosos y útiles (1740) , donde no da crédito a ningún predecesor y contrasta explícitamente su procedimiento basado en el cálculo con los algebraicos anteriores.