¿Cuándo se debe incluir la prueba de resultados conocidos en una tesis doctoral matemática?

Como regla general, puedes citar los teoremas de otras personas sin explicar sus demostraciones, y omitir una demostración es una buena idea si sería una distracción prolongada. Sin embargo, hay varias razones por las que incluir una prueba de este tipo podría ser útil:

1. Incluirlo puede ser conveniente para el lector si la prueba es corta. Es molesto buscar otro documento y descubrir que solo necesitaba un breve argumento que podría haberse explicado fácilmente en el documento original. Extraer información de una referencia puede ser engorroso (tiene que ubicar exactamente lo que está buscando, averiguar de qué depende, ordenar la notación, etc.), mientras que dar su propia explicación puede ayudar a los lectores a evitar algunas de estas dificultades. .

2. Incluso si la demostración no es particularmente corta, puede servir como calentamiento para nuevas aplicaciones de las mismas técnicas. Recordarle al lector cómo funcionan puede hacer que su trabajo sea mucho más fácil de leer que si simplemente se sumerge en el caso más nuevo y complicado.

Doctor. las disertaciones son un caso especial, porque su asesor puede alentarlo a incluir detalles adicionales en las secciones de antecedentes (más allá de lo que podría incluir en un artículo publicado). Esto es en parte una cuestión de demostrar su dominio del área y en parte una cuestión de escribir una encuesta útil para los demás. Los asesores difieren en la forma en que abordan esto: algunos piensan que es una pérdida de tiempo y que es mejor concentrarse en escribir un artículo publicado, mientras que otros piensan que escribir una disertación más extensa es un ejercicio de aprendizaje valioso. Este es un tema que debe discutir con su asesor.

Esta es una buena pregunta y, como indica Anonymous Mathematician, vale la pena discutirla con su asesor.

Esencialmente, lo que está preguntando es si incluir una exposición en su tesis doctoral y cuándo hacerlo. La respuesta es que rara vez se requiere estrictamente, pero a menudo se espera, en muchos casos se alienta y en algunos casos no es necesario. Hay muchos matices aquí y no preveo que sea posible una respuesta general integral. (La respuesta del matemático anónimo es excelente, y esencialmente la estoy corroborando).

Las matemáticas tienen una orgullosa tradición de tesis doctorales con un contenido expositivo significativo. (En mi tesis , el Capítulo 0 es expositivo. Ocupa aproximadamente la mitad de la tesis. Esto es un poco largo, pero no tan inusual).

Una de las razones por las que esto se hace es porque una tesis de doctorado suele ser la última oportunidad de que sus mentores se apoyen en usted y requieran que demuestre su dominio de conceptos técnicos muy difíciles. Cuando soy miembro del comité de una tesis de doctorado en matemáticas, generalmente quiero ver al menos suficiente exposición para convencerme de que el escritor domina los conceptos, las definiciones y los objetos utilizados en la tesis. Especialmente, quiero ver definiciones clave con mucho detalle, incluso si son largas y están tomadas de otras fuentes.

Otra razón por la que se hace esto es que el estándar cultural en matemáticas es que las tesis doctorales pueden ser significativamente más discursivas que los artículos publicados. Cuando una tesis doctoral se convierte en un artículo, a menudo hay una compresión de 2:1 o más en términos del número de páginas y, a menudo, los resultados que aparecen en el artículo son más sólidos que los que aparecen en la tesis. (En matemáticas, deduzco que, a diferencia de otros campos, uno suele publicar la mayor parte de su trabajo de tesis después decompletar la tesis, no antes.) Algo tiene que ceder y, a menudo, los artículos de matemáticas publicados en las revistas más importantes se escriben de modo que cada página contenga una nueva idea importante o un cálculo realmente difícil. Esta densidad de contenido es un motivo de orgullo para las principales revistas, pero puede hacer que los artículos sean terriblemente difíciles de leer. Muchas tesis son famosas por ser las mejores fuentes de exposición de los temas que contienen.

Dicho todo esto, parece claro que el "copiar y pegar" aporta poco valor. Tomado literalmente: copiar largas pruebas palabra por palabra de otras fuentes sería plagio si se lleva demasiado lejos. La mayor parte de la exposición en una tesis doctoral llena un vacío en la literatura, no la reproduce. Una buena exposición sintetiza varias fuentes, ofrece nuevas perspectivas (incluyendo un puente a los nuevos resultados, como menciona AM ), elige la notación y las hipótesis de una manera globalmente apropiada, y así sucesivamente.

Finalmente: la demostración formal suele ser la parte menos importante de una buena exposición matemática. Obtener las definiciones y declaraciones correctas y ponerlas en contexto es más importante. La mayoría de las tesis de doctorado en matemáticas contemporáneas se basan en importantes fundamentos técnicos, no todos los cuales se espera que el estudiante conozca personalmente . No se supone que una tesis doctoral sea "lógicamente independiente" en ningún sentido formal, solo para demostrar dominio a los ojos de los miembros del comité y ser un documento útil para el lector a los ojos del asesor y (lo más importante) el escritor. Si está pensando en copiar más o menos una prueba "para completarla", puede que ese no sea el camino a seguir.

En general, solo debería necesitar reproducir la demostración palabra por palabra en los casos en que necesite diseccionarla, mencionar una parte de la demostración en particular o si tiene la intención de extenderla directamente usando argumentos similares, de lo contrario, enunciando el teorema y citando un trabajo. donde se prueba debe ser suficiente.

No veo ninguna razón para copiar una prueba que se encuentra en otro lugar. Creo que está bien decir que este resultado y su prueba se pueden encontrar en este artículo. En mi opinión, las pruebas en una disertación deben ser propias.