¿Cuándo la fase Berry solo depende de la topología de la ruta?

Fondo

Supongamos que tenemos un hamiltoniano H ( R ) que depende de algunos parámetros R . Para cada valor de R , el hamiltoniano tendrá algún conjunto de vectores propios { | ϕ j ( R ) ⟩ } .

Si cambiamos los parámetros R alrededor de un circuito cerrado C en el espacio de parámetros, podemos considerar el efecto que esto tiene sobre los estados cuánticos. En todo momento suponemos que el cambio se hace adiabáticamente, comenzando y terminando en el punto R 0 en el espacio de parámetros. También ignoraremos todas las fases 'dinámicas' de la forma mi − i mi t / ℏ por simplicidad.

Caso 1: H ( R ) no es degenerado

En este caso, si partimos del estado propio | ϕ i ( R 0 ) ⟩ , este recorrido da como resultado un factor de fase entre los estados inicial y final

| ψ F i norte a yo ⟩ = mi i γ C | ϕ i ( R 0 ) ⟩ ,

con la fase γ C dada por

γ C = ∫ C d R ⋅ A ( R ) ,

dónde A ( R ) = i ⟨ ϕ i ( R ) | ∇ R ϕ i ( R ) ⟩ es el potencial del vector Berry.

γ C se conoce como la fase Berry y, a menudo, se la denomina 'fase geométrica', ya que depende solo de la geometría de la ruta C , no el tiempo necesario para recorrerlo.

Caso 2: H ( R ) es degenerado

Si, en cambio, el hamiltoniano es degenerado, entonces este recorrido a través del espacio de parámetros dará como resultado una operación unitaria en el estado inicial

| ψ F i norte a yo ⟩ = tu C | ϕ i ( R 0 ) ⟩ ,

con el operador unitario tu C dada por

tu C = PAG ^ Exp ⁡ ( − ∫ C d R ⋅ A ( R ) ) ,

dónde PAG ^ es el símbolo de ordenación de caminos, y ahora A ( R ) es una matriz con entradas

A i j ( R ) = ⟨ ϕ i ( R ) | ∇ R ϕ j ( R ) ⟩ .

(Nota: esta operación es unitaria porque A es anti-hermitiano.)

Pregunta

Estoy tratando de entender cómo se relaciona la fase Berry con las estadísticas del intercambio de partículas. Si entiendo correctamente, podemos modelar el intercambio de partículas de la manera que he establecido anteriormente, cambiando algunos parámetros. R del hamiltoniano. Por ejemplo, podemos imaginar H ( R ) ser algún potencial de captura que localiza las partículas en posiciones R . Al cambiar este potencial de atrapamiento, podemos mover las partículas unas alrededor de otras.

Hasta donde yo sé, la fase (o más generalmente, la operación unitaria) que resulta de este tipo de ruta transversal solo depende de la topología de la ruta. Sin embargo, a partir de la exposición que he dado anteriormente, no puedo ver ninguna razón por la cual esta fase no cambiaría si el camino C se deformaron levemente. entonces mi pregunta es

Pregunta: ¿ Bajo qué condiciones la fase Berry (u operación unitaria) solo depende de la topología del camino a través del espacio de parámetros? ¿Hay alguna diferencia en estas condiciones entre los Casos 1 y 2?

Pensamientos sobre una respuesta

Al leer la respuesta a esta pregunta, parece que se puede pensar en la fase Berry en relación con el transporte paralelo de vectores alrededor de bucles en el espacio de parámetros. Aparentemente, si la "curvatura de Berry" es cero, excepto en algunos puntos aislados, entonces la fase de Berry solo depende de si el bucle contiene uno de estos puntos. En este sentido, solo depende de la topología de la ruta.

Si esta respuesta está en la línea correcta, ¿alguien podría desarrollarla? En particular, ¿por qué la curvatura de Berry debería ser cero?

Respuestas (1)

En general, la fase de Berry no es independiente de la ruta, por eso la llamamos fase geométrica y no fase topológica .

Sin embargo, una situación en la que la curvatura de Berry se ve obligada a ser cero es cuando tienes simetría de inversión de tiempo. Por ejemplo, considere el caso simple cuando la función de onda | ψ R ⟩ puede tomarse como puramente real para todos los valores de R . Entonces claramente el potencial del vector Berry A = i ⟨ ψ R | ∇ R | ψ R ⟩ es puramente imaginario. Por otro lado, A también se supone que es puramente real (lo que se puede verificar usando la condición de ortogonalidad ⟨ ψ R | ψ R ⟩ = 1 ), por lo que la única posibilidad es que A = 0 y por lo tanto la curvatura ∇ × A = 0

(Nota al margen, si A = 0 ¿Por qué esto no implica que la fase Berry sea cero? La respuesta es que incluso en presencia de simetría de inversión de tiempo, es posible que no pueda encontrar un solo indicador que haga que la función de onda sea real para todos los valores de R . Pero debería poder hacerlo en la vecindad de cualquier valor dado de R . Dado que la curvatura ∇ × A es invariante de calibre, el argumento anterior implica que es cero en todas partes, aunque es posible que no podamos encontrar un calibre tal que A = 0 en todos lados.)

Ahora, se supone que las estadísticas de intercambio de partículas están bien definidas y son topológicamente invariantes, incluso en ausencia de simetría de inversión de tiempo (por ejemplo, en un campo magnético). Pero no puede simplemente identificar estas estadísticas de intercambio con una sola fase de Berry en este caso. En cambio, debe considerar una diferencia de la fase acumulada para varios procesos diferentes, de modo que las contribuciones locales no topológicas se cancelen. Esto se discute (aunque no estrictamente en términos de la fase de Berry) en https://arxiv.org/abs/cond-mat/0302460

Gracias por su respuesta y por el enlace al documento. Lo leeré cuando tenga tiempo. Aunque no estoy seguro de entender tu segundo párrafo. Primero, ¿no es siempre real el potencial del vector Berry porque el operador de gradiente ∇ R es anti-hermitiano? En segundo lugar, ¿cómo depende ese argumento de la simetría de inversión del tiempo?
@OliverLunt No creo que tenga sentido llamar antihermitiano a un operador de gradiente que actúa en el espacio de parámetros (no en el espacio de Hilbert). Pero de todos modos, sí dije que " A se supone que es puramente real". Pero si la función de onda es real, entonces A es también puramente imaginario, lo que implica que A = 0 . En el caso más simple, la simetría de inversión de tiempo se implementa mediante una conjugación compleja en la función de onda, por lo que decir que la función de onda es real es lo mismo que decir que tiene simetría de inversión de tiempo.
Sí, creo que tienes razón en no llamar. ∇ R anti-hermitiano: el signo menos proviene de la condición de ortonormalidad, por lo que ∇ R ( ⟨ ϕ i ( R ) | ϕ j ( R ) ⟩ ) = ∇ R d i j = 0 . Con eso, creo que ahora entiendo tu segundo párrafo, así que +1.
Con respecto a su párrafo final, leí el documento que vinculó, pero me resultó un poco difícil hacer la conexión con las fases de Berry. En una búsqueda de respuestas, encontré este artículo de Berry ( the Berry). Aquí conecta las estadísticas de intercambio de partículas con un factor de fase topológico "asociado con circuitos no contráctiles en el espacio de configuración doblemente conectado (y no orientable) de posiciones relativas con antípodas identificadas". Lo que me pregunto es cómo se conecta esto con lo que dijiste en tu último párrafo.
@OliverLunt No tengo mucha idea de cuál es la motivación para la construcción en el artículo de Berry. Están introduciendo grados de libertad no físicos adicionales, lo cual es bastante extraño. La artificialidad de su construcción se demuestra por el hecho de que pretenden demostrar el teorema de las estadísticas de espín, aunque este teorema no se cumple en general para partículas no relativistas.
@OliverLunt Tiene razón en que la formulación de las estadísticas de intercambio en el artículo de Levin que vinculé realmente no tiene nada que ver con la fase de Berry. Mi sospecha es que en realidad podría no haber ninguna conexión fundamental entre la fase de Berry y las estadísticas de intercambio.
Ok, hay mucho que pensar aquí, ¡gracias por sus respuestas!
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