¿Cuáles son los dominios propios del operador de posición y momento angular al cuadrado?

Question

¿Cuáles son los dominios propios del operador de posición y momento angular al cuadrado?

Wang Xin

Estoy mirando el operador de posición en un conjunto compacto. $K \subset \mathbb{R}^n$ y el operador de momento angular al cuadrado (esencialmente, el operador de Laplace-Beltrami donde solo miro las partes angulares para que este operador actúe sobre $\mathbb{S}^2$ ). Mi pregunta es: ¿Cuáles son los dominios canónicos que ajustamos a estos dos operadores?

yuggib

En

L^{2} (K)

$L^2(K)$ , multiplicación por

x_{j}

$x_j$ sospecho que es un operador acotado ... el momento angular al cuadrado tiene un conjunto completo de funciones propias en los armónicos esféricos, pero no sé su dominio preciso de autoadjunción. Un dominio regular como

C^{\infty} (S^{2})

$C^{\infty}(\mathbb{S}^2)$ debería ser un dominio de autoadjunción esencial (pero no estoy seguro).

Wang Xin

si, al menos para

K \subset R

$K \subset \mathbb{R}$ podríamos tomar el

x \in K

$x \in K$ con valor absoluto máximo y luego esto define nuestra constante para

| | x f | |_{2} \leq C | | f | |_{2}

$||xf||_2 \le C ||f||_2$ , por lo que debe tener razón acerca de la delimitación.

Respuestas (1)

¿Cuáles son los dominios propios del operador de posición y momento angular al cuadrado?

En $L^2(K)$ , multiplicación por $x_j$ sospecho que es un operador acotado ... el momento angular al cuadrado tiene un conjunto completo de funciones propias en los armónicos esféricos, pero no sé su dominio preciso de autoadjunción. Un dominio regular como $C^{\infty}(\mathbb{S}^2)$ debería ser un dominio de autoadjunción esencial (pero no estoy seguro).
si, al menos para $K \subset \mathbb{R}$ podríamos tomar el $x \in K$ con valor absoluto máximo y luego esto define nuestra constante para $||xf||_2 \le C ||f||_2$ , por lo que debe tener razón acerca de la delimitación.

Valter Moretti · Answer 1

D ({\hat{X}}_{i}) := {ψ \in L^{2} (k, d^{norte} X) | \int_{k} X_{i}^{2} | ψ (X) |^{2} d^{norte} X < + \infty} = L^{2} (k, d^{norte} X)

$D(\hat{X}_i):= \left\{ \psi \in L^2(K, d^nx)\:\left|\: \int_K x_i^2|\psi(x)|^2 d^nx< \right.+\infty \right\} = L^2(K, d^nx)$ donde la última identidad es verdadera si

K

$K$ es acotado (en particular compacto) porque

x_{i}^{2}

$x_i^2$ también está acotado en él (en este caso, el operador también está acotado). Además

D ({\hat{j}}^{2}) := {ψ \in L^{2} (S^{2}, d Ω) | \sum_{ℓ = 0, - ℓ \leq metro \leq ℓ}^{+ \infty} ℓ^{4} {| \int_{S^{2}} ψ (s)^{*} Y_{metro}^{ℓ} (s) d Ω (s) |}^{2} < + \infty}

$D(\hat{J}^2):= \left\{\psi \in L^2(\mathbb S^2, d\Omega)\:\left|\: \sum_{\ell=0\:, -\ell \leq m \leq \ell}^{+\infty} \ell^4 \left| \int_{\mathbb S^2}\psi(s)^* Y^{\ell}_m(s)\:d\Omega(s) \right|^2<+\infty\right.\right\}$ Con estos dominios, son automáticamente adjuntos a sí mismos (no solo esencialmente adjuntos a sí mismos). Si restringe el dominio a

C^{\infty} (S^{2})

$C^\infty(\mathbb S^2)$ ,

{\hat{J}}^{2}

$\hat{J}^2$ resulta ser esencialmente autoadjunto, debido a un conocido teorema de Nelson, ya que es simétrico (con dominio denso) y admite un conjunto de vectores analíticos (el

Y_{m}^{ℓ}

$Y^\ell_m$ s) cuyo vano es denso en todo el espacio de Hilbert.

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Wang Xin

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Valter Moretti

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