¿Cuáles son los conocimientos matemáticos necesarios para iniciarse en la Mecánica Cuántica?

¿Alguien con experiencia en el campo podría decirme cuál es el conocimiento matemático mínimo que se debe obtener para comprender el libro / curso introductorio de Mecánica Cuántica?

Tengo conocimiento de matemáticas, pero debo decir que, actualmente, es un poco pobre. Hice un curso básico de introducción a Cálculo, Álgebra Lineal y Teoría de Probabilidades. ¿Quizás podría sugerir algunos libros que debo leer antes de poder comenzar con QM?

Es más fácil aprender algo si lo necesita, por lo que puede usar su interés en QM para inspirarse y aprender las matemáticas.
Pregunta Math.SE relacionada: math.stackexchange.com/q/758502/11127
Hay muchos niveles matemáticos diferentes en los que uno puede aprender mecánica cuántica. Puedes aprender mecánica cuántica con nada más que álgebra de secundaria; simplemente no lo aprenderá al mismo nivel de profundidad y sofisticación matemática.

Respuestas (6)

Depende del libro que hayas elegido leer. Pero por lo general, algunos conceptos básicos de cálculo, álgebra lineal, ecuaciones diferenciales y teoría de la probabilidad son suficientes. Por ejemplo, si comienza con la Introducción a la mecánica cuántica de Griffiths, el autor amablemente le brinda la revisión de Álgebra lineal en el Apéndice, así como algunos consejos básicos sobre la teoría de la probabilidad al comienzo del primer Capítulo. Para resolver la ecuación de Schrödinger (que es una ecuación diferencial (parcial)), por supuesto, debe conocer los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales. Además, algunas funciones especiales (como polinomios de Legendre, armónicos esféricos, etc.) aparecerán a su debido tiempo. Pero, nuevamente, en el libro introductorio, como el libro de Griffiths, estas cosas se explican en detalle, por lo que no debería haber problemas para usted si es un lector cuidadoso. Este libro es uno de los mejores para empezar.

+1 por la recomendación del libro. Este fue el que me enseñaron y proporcionó un excelente punto de partida.

No necesita ninguna probabilidad: la probabilidad utilizada en QM es tan básica que la toma solo del sentido común.

Necesitas álgebra lineal, pero a veces se revisa en el libro mismo o en un apéndice.

QM parece usar análisis funcional, es decir, álgebra lineal de dimensión infinita, pero la verdad es que lo hará bien si comprende el álgebra lineal de dimensión finita básica en el curso habitual de álgebra lineal y luego finge que todo es cierto para los espacios de Hilbert. también.

Sería bueno si hubiera tomado un curso en ODE, pero la verdad es que la mayoría de los cursos de ODE en estos días no tratan el único tema que necesita en QM, que es la teoría de Frobenius para ecuaciones con un punto singular regular, por lo que la mayoría de los profesores de QM rehacen el caso especial de esa teoría necesaria para el átomo de hidrógeno de todos modos, asumiendo triste pero sabiamente que sus estudiantes nunca la aprendieron. Un curso ordinario de Cálculo II cubre los conceptos básicos de ODE como la separación de variables y esas cosas. Revisalo.

¡Sugiero usar el libro de Dirac sobre QM! Utiliza muy pocas matemáticas y mucha perspicacia física. La edición anterior de David Park es más estándar y lo suficientemente fácil y se puede entender con un curso de álgebra lineal y Calc I, CalcII y CalcIII.

El libro de Dirac se puede leer sin conocimientos previos, +1, y sigue siendo el mejor, pero no tiene integral de trayectoria, y el tratamiento de la ecuación de Dirac (irónicamente) es demasiado anticuado. Recomendaría aprender mecánica de matrices, que se revisa rápidamente en Wikipedia. El requisito previo son las transformadas de Fourier. Sakurai y Gottfried son buenos, al igual que Mandelstam/Yourgrau para las integrales de trayectoria.
Hay una historia sobre Dirac. Cuando se comprobó que se violó la paridad, alguien le preguntó qué pensaba al respecto. Él respondió: "Nunca dije nada al respecto en mi libro". Las cosas que mencionas que quedan fuera de su libro son cosas que es una buena idea omitir. Las integrales de ruta son exageradas, pero son solo un truco matemático y no brindan información física; de hecho, son engañosas. Lo mismo para la mecánica de matrices. Esas son precisamente las razones por las que sigo recomendando a Dirac para principiantes... Ni siquiera me sorprendería si su tratamiento de QED en la segunda edición resultara más duradero que el de Feynman...
La mecánica de matrices es buena porque te da la intuición de los elementos de la matriz, por ejemplo, inmediatamente entiendes que un operador con frecuencia constante es un operador de subida/bajada. También comprende la interpretación semiclásica de los elementos de matriz fuera de la diagonal, son solo transformadas de Fourier atrofiadas de movimientos clásicos. También comprende por qué el elemento de la matriz dipolo proporciona la tasa de transición sin cuantificar el campo de fotones, solo de manera semiclásica. Todas estas son intuiciones importantes, que se han perdido porque Schrödinger venció a Heisenberg en el atractivo de las masas.
La anécdota sobre la violación de P es que mucha gente dijo que P se conservó solo por una cuestión de necesidad lógica, en varios libros de mecánica cuántica de mierda. Dirac señaló que nunca dijo que P fuera una simetría fundamental en su libro y, de hecho, no hizo ese argumento equivocado. El tratamiento de Dirac de las simetrías es muy bueno, el único lugar que le falta a su libro es en la motivación para la conmutación canónica. Históricamente, obtuvo esto de la interpretación de Heisenberg de la antigua regla cuántica. La versión moderna es la de Schrödinger. Pero sigo pensando que la manera de Heisenberg es más convincente.
Tu comentario sobre las integrales de trayectoria es una tontería. La integral de trayectoria da una unificación de Heisenberg y Schrodinger en un formalismo, que es automáticamente relativista. Da continuación analítica al tiempo imaginario, lo que da resultados como CPT, reguladores relativistas, renormalización estocástica, transiciones de segundo orden, fantasmas de Fadeev Popov, supersimetría y miles de cosas más que serían prácticamente imposibles sin él. La integral de la trayectoria de la trayectoria de la partícula es la fuente de la formulación de la matriz S y la teoría de cuerdas, de los métodos de unitaridad y de todo lo moderno.
En particular, considere solo un resultado dominado por la integral de trayectoria: la expansión del producto del operador. El álgebra de operadores de Heisenberg es obviamente útil en la teoría de campos, pero la relación de conmutación no es manifiestamente covariante. ¿Qué son las relaciones de operadores covariantes? Estos son todos de la integral de trayectoria, estos son productos de operadores. El OPE es fundamental para la teoría cuántica de campos en 2D, que es esencial tanto para la mecánica de cuerdas como para la mecánica estadística. La integral de trayectoria es el formalismo correcto para la mecánica cuántica, y omitirla es como omitir las leyes de Newton de la mecánica clásica.
@Ron Sea como fuere, eso no es algo que alguien que comienza QM pueda o deba poder soportar.
@Lagerbaer: Tienes razón. Pero una integral de trayectoria, con énfasis en los procesos estocásticos, es accesible incluso para un estudiante no cuántico. La versión cuántica es sencilla una vez que se internaliza la versión estocástica.
@RonMaimon He tenido que enseñar procesos estocásticos e integrales a personas normales y sin talento. En mi humilde opinión, los procesos estohásticos cuentan como teoría de la probabilidad, una de las partes más complicadas, y las integrales de trayectoria tampoco son de ayuda para los principiantes. Todavía es mejor para el estudiante principiante no tomar un curso de probabilidad y dejar que lo que aprendan sobre la física de QM sea su introducción a los procesos estocásticos... quiero decir, además de lo que ya aprendieron sobre los procesos estocásticos al jugar Serpientes y Escaleras. . Esto es parte de mi tema: aprende la física primero y los trucos matemáticos después.
@jose f. johnson: No estoy seguro de qué decir --- si enseña procesos estocásticos a "personas normales" (y no estoy seguro de dónde encontraría personas que no sean normales, porque estas personas no existen), tiene decir en algún punto que X(t) por dX/dt depende del orden de tiempo, y el conmutador (la diferencia de los dos órdenes) es 1. Esta es la relación de conmutación de Heisenberg en forma de integral de trayectoria, y también es el lema de Ito. La relación entre ambos es completamente intuitiva. Pero hace un momento dijiste que crees que es un truco matemático, y no lo es.

Hay un buen libro con un título extremadamente largo: Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas . Hace lo básico bastante bien. El de Griffith sería el siguiente paso lógico. Después de eso está Shankar .

Pruebe estas dos conferencias de Leonard:

https://www.youtube.com/watch?v=5UqDb2BcxZk

https://www.youtube.com/watch?v=2STsUIHCaLU

También más en https://glenmartin.wordpress.com/home/leonard-susskinds-online-lectures/

PD: No tengo experiencia en física y matemáticas, excepto algunos conceptos básicos. así que no puedo comentar si estos eran demasiado básicos para ti...

Pruebe los esquemas de Schaum: mecánica cuántica, ISBN 0-07-054018-7. Verá las matemáticas allí, pero tendrá que hacer los estudios profundos de fondo sobre todas las matemáticas del Capítulo 2.

libro bonito y barato

Buena pregunta. Vengo de un entorno no físico y tengo que aprender mecánica cuántica para mis estudios futuros y, lamentablemente, no pude encontrar ninguna respuesta completa en stackex a diferencia de Steve Denton aquí .

Esta respuesta es la sugerencia de Steve Denton en el sitio web de Quora.

Puede abordar QM básico y no relativista en un nivel introductorio con solo los siguientes requisitos previos:

Álgebra lineal (principalmente álgebra vectorial y álgebra matricial, y especialmente incluyendo vectores propios y valores propios, que son absolutamente fundamentales para QM) Números complejos (especialmente la representación y manipulación de números complejos en términos de funciones exponenciales complejas, y la representación de ondas usando el mismo ) Cálculo diferencial e integral de una sola variable, incluidas ecuaciones diferenciales ordinarias Probabilidad y estadísticas básicas Muchos de los conceptos especializados y funciones matemáticas que surgen en QM elemental (por ejemplo, álgebra de operadores, espacio de Hilbert, conjugados de Hermitian, productos internos, polinomios de Hermite, las funciones delta, la notación bra-ket de Dirac, los operadores de proyección, etc.) se le presentarán durante sus estudios de QM, por lo que no son requisitos previos como tales.

Para QM no relativista de nivel intermedio/avanzado, necesitará algunas cosas adicionales, como mínimo:

Ecuaciones diferenciales parciales Coordenadas polares esféricas (usadas mucho en física atómica y nuclear) Funciones especiales (por ejemplo, polinomios de Legendre y funciones relacionadas) Análisis complejo (particularmente el cálculo de residuos, es decir, integración compleja) Funciones de Green Análisis de Fourier Teoría de grupos Una buena familiaridad con la clásica La mecánica analítica, las formulaciones hamiltoniana y lagrangiana, y el principio de acción mínima también valdrían mucho la pena adquirir en este punto, ya que son ideas y técnicas absolutamente centrales en cualquier física avanzada, y particularmente en la teoría cuántica de campos.

Para QM relativista y teoría cuántica de campos, lo principal que necesitará, como mínimo, es:

Cálculo de variaciones, o cálculo variacional (y sus aplicaciones, a través del Principio de Acción Mínima, en la mecánica analítica clásica) Cálculo tensorial de integración funcional (en el espacio-tiempo 4D de Minkowski; el cálculo tensorial general completo no será necesario en su mayor parte, pero algún conocimiento tanto de ella como de la relatividad general puede ser útil ocasionalmente, y sin duda será necesario si desea profundizar en áreas como la cosmología cuántica, la teoría de cuerdas, la gravedad cuántica, etc.)

Además de eso, tener un conocimiento sólido de mecánica clásica podría ayudarte ya que la mecánica clásica es obligatoria en los formalismos de Lagrange, Hamilton y Hamilton-Jacobi.

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