Álgebra lineal para la física cuántica

La mecánica cuántica "vive" en un espacio de Hilbert, y el espacio de Hilbert es "simplemente" un espacio vectorial de dimensión infinita, por lo que los vectores son en realidad funciones. Entonces, las matemáticas de la mecánica cuántica son prácticamente "solo" operadores lineales en el espacio de Hilbert.

Mecánica cuántica Álgebra lineal
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función de onda vectorial
matriz de operadores lineales
estados propios vectores propios
sistema físico espacio de Hilbert
matriz hermítica observable física

Bueno, aprende álgebra lineal. Un texto avanzado (sobre álgebra lineal sobre sistemas numéricos de "campo") son estas notas de clase [html] de UC Davis.

Una vez que lo hagas, deberías estudiar ecuaciones diferenciales. O si quiere saltarse, tal vez el análisis de Fourier. Una referencia libre serían mis notas [pdf]. Está levemente orientado a la física, pero conecta las ideas con el álgebra lineal.

La mecánica cuántica, cuando se reduce, es el análisis de Fourier. (En lugar del "dominio de frecuencia", tiene "espacio de momento", etc.)

Bueno, si desea obtener información cuantitativa sobre QM, también debe aprender algo de cálculo, principalmente ecuaciones diferenciales y, si realmente insiste, también análisis de Fourier. Me enseñaron cálculo básico decente en la escuela secundaria, por lo que es posible que ya conozca algunos de los conceptos básicos.

Sugiero obtener una copia usada de Zetteli . El Capítulo 2 es un estudio de las herramientas matemáticas de QM, y el comienzo mismo del Capítulo 3 son los postulados de QM.

Eso le mostrará directamente las matemáticas que necesita, y puede consultar otros libros para obtener explicaciones más detalladas de las partes que le causan problemas.

Las matrices y los vectores son importantes porque se corresponden muy bien con las matemáticas de QM y, por lo tanto, forman el lenguaje básico en el que se expresa QM. A medida que continúe estudiando álgebra lineal, aprenderá acerca de los vectores propios y los valores propios. Se utilizan para describir el proceso de medición, que es esencial para QM.

El primer gran paso sería el cálculo. Realmente solo estoy familiarizándome con la integración y la diferenciación en todo tipo de funciones. A partir de ahí, un poco de conocimiento sobre ecuaciones diferenciales puede ser muy útil. Saber esto puede ayudarte a resolver algunos problemas básicos. "Early Transcendentals" de Thomas es un buen libro de cálculo. Luego, hay algunos buenos libros de física matemática que cubren muchos temas diferentes, desde álgebra lineal hasta análisis complejo. No me gusta particularmente este libro, pero lo uso, "Métodos matemáticos en las ciencias físicas" de Mary Boas.

Las matrices simétricas cuadradas (o más bien hermitianas complejas) representan los observables de un sistema mecánico cuántico. Sus valores propios representan los posibles valores observados en experimentos ideales. Existe una base de valores propios ortonormales, que le permite escribir cualquier vector de estado como una combinación lineal (superposición) de vectores base. Los valores absolutos al cuadrado de los productos internos definen las probabilidades. Luego se necesitan funciones de matrices, en particular la matriz exponencial, que da la dinámica de un sistema, y ​​una solución explícita de la ecuación de Schroedinger en el caso de un sistema de n niveles.

Por lo tanto, debe aprender lo suficiente para poder comprender bien estos conceptos: matriz, transpuesta, transposición conjugada, combinación lineal, base, valor propio, vector propio, producto interno, serie de potencias de matriz, exponencial de matriz. Wikipedia tiene buenos artículos resumidos sobre cada uno de estos temas, para ayudarte a dar una visión general. Puede omitir otras cosas y volver a ellas en caso de que las necesite.

En el análisis, necesita sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes (estos están relacionados con la matriz exponencial) y la transformada de Fourier. Este último implica la integración en 3 dimensiones, pero nuevamente, puede omitir muchas cosas y volver a las cosas omitidas una vez que las necesite.

Luego, puede consultar varios textos de mecánica cuántica o notas de conferencias, por ejemplo, mi libro en línea http://lanl.arxiv.org/abs/0810.1019 : el primer capítulo debería ser comprensible incluso con poco conocimiento previo, si puede tentativamente aceptar conceptos sin una comprensión completa. Mis preguntas frecuentes http://arnold-neumaier.at/physfaq/physics-faq.html también podrían ser de ayuda. Al leerlos y notar dónde pierde la noción, puede descubrir qué otros conceptos necesita para dar sentido a su lectura. Esto le dirá qué más necesita aprender. En última instancia, casi todo el álgebra lineal y el análisis son útiles en la mecánica cuántica, pero qué y cuándo depende de lo que le interese.

Hay un buen libro dirigido a estudiantes dotados de secundaria, escrito por Thomas Jordan en la Universidad de Minnesota, Duluth. Llamada Mecánica cuántica en forma de matriz simple, es una breve introducción a los números complejos, los operadores lineales y QM. Creo que el autor lo usó para enseñar una escuela de verano para estudiantes de secundaria y un curso universitario en QM para estudiantes de artes liberales; no es un mal lugar para comenzar para alguien en el nivel de OP (escuela secundaria).