¿Qué matemáticas debo estudiar si quiero obtener una comprensión básica de la mecánica cuántica y, especialmente, poder usar la ecuación de Schrödinger?
Una buena parte del formalismo de la mecánica cuántica implica un uso extensivo del álgebra lineal. Por ejemplo, si un operador se da en forma de matriz, debe saber cómo calcular valores propios y vectores propios. Una comprensión de la teoría de grupos es útil, pero no se requiere en el nivel básico. Le brinda una mejor comprensión del formalismo para el espín, la degeneración accidental en el átomo de hidrógeno, etc. Las series y transformadas de Fourier deben estar al alcance de su mano. Es muy común cambiar frecuentemente entre las representaciones del espacio de momento y del espacio real. Debe familiarizarse con las diferentes representaciones de la función delta de Dirac y aprender todos los trucos necesarios para hacer integrales gaussianas.
Lo que describí anteriormente son herramientas que generalmente se usan para una amplia variedad de problemas. Ciertas herramientas matemáticas, sin embargo, solo pueden usarse en ejemplos específicos. A efectos prácticos, la ecuación de Schrödinger se resuelve en la denominada base de posición. En este caso, su ecuación de valor propio es, en general, una ecuación diferencial parcial (PDE). Debería aprender a resolver al menos las PDE más básicas. También debe buscar soluciones en serie de ecuaciones diferenciales. Las funciones especiales como los polinomios de Legendre, Laguerre, Airy, etc. serían útiles en ciertos problemas.
Debes estudiar operador y calcula. También debe tener el conocimiento de la operación de matrices.
Antes de entrar en la teoría PDE, las funciones especiales y todo este material citado por otras personas: en cuanto a lo que entendí, quieres entender la ecuación de Schroedinger en lugar de resolverla en casos extraños. Te diré lo que creo que es lo esencial para empezar a entender:
álgebra lineal y cálculo
espacios complejos de Hilbert y productos escalares
Hay un montón de libros sobre esto. La mayoría de los libros básicos de QM cubren al menos algo sobre los espacios de Hilbert, los operadores y la notación de Dirac.
qmecanico
kenshin