¿Cuáles son las propiedades de los objetos matemáticos?

Creo que la mayoría de los matemáticos adoptaría este punto de vista:

Un objeto matemático es un conjunto de entidades abstractas junto con las relaciones entre ellas. Según este punto de vista, la palabra propiedad es sinónimo de relación .

Por ejemplo, el conjunto de números enteros es un objeto matemático. Las únicas propiedades de los números enteros son las presentes en las relaciones entre ellos.

No inventamos objetos matemáticos, solo inventamos las notaciones que usamos para identificarlos y estudiar sus propiedades. La clave de este punto de vista es que los objetos matemáticos son identificados y definidos por humanos de una manera puramente abstracta, sin ningún bagaje humano.

Hay muchas objeciones filosóficas a este punto de vista.

El razonamiento deductivo no es, como usted sugiere, una propiedad de las matemáticas. Es un método que usan los humanos para explorar las propiedades de los objetos matemáticos. La lógica y las matemáticas no son lo mismo.

Esa es una buena pregunta y no tengo una respuesta definitiva, pero la deducción podría no ser un buen comienzo, ya que, como observa, la deducción se aplica a cualquier dominio.

Aquí hay algunas ideas: los objetos matemáticos son puramente abstractos (no existen en el espacio-tiempo. Sus representaciones o símbolos sí, pero la representación no es el objeto). No se perciben a través de los sentidos. son formales Se basan en axiomas y definiciones puramente lógicos, sin ninguna referencia al mundo exterior. No tienen aspectos cualitativos.

Uno de los debates más fundamentales en la filosofía de las matemáticas es el debate sobre qué son las matemáticas. Su pregunta ("¿Qué hace que un objeto sea matemático?") podría entenderse directamente a partir de la comprensión de "¿Qué son las matemáticas?" Por lo tanto, le sugiero que comience leyendo la lista de la SEP de las cuatro principales escuelas de pensamiento . Cada escuela responde a la pregunta de manera diferente.

Por ejemplo, para un logicista , un objeto es matemático si es simplemente una declaración en algún sistema lógico. Por lo tanto, el primero y el tercero de sus ejemplos son ciertamente matemáticas, y el segundo también podría serlo si "sócrates", "mortal" y "hombre" se definieran axiomáticamente. Un enunciado es matemático si su contenido (significado) puede definirse en términos puramente lógicos. Bertrand Russell definió las matemáticas así:

Las matemáticas puras son la clase de todas las proposiciones de la forma "p implica q", donde p y q son proposiciones que contienen una o más variables, las mismas en las dos proposiciones, y ni p ni q contienen constantes excepto constantes lógicas.

En la práctica, sin embargo, hacer matemáticas es mucho más complicado, y los logicistas tendrán que conceder que es sólo después de mucho trabajo que un campo de las matemáticas se reduce a términos puramente lógicos. El intuicionismo, el formalismo y el predictivismo, así como el platonismo más antiguo, tienen sus propias cosas que decir.

Mi propia opinión es que un objeto es matemático de la misma manera que un objeto es físico: se observa como un patrón en el mundo real. Por lo tanto, diría que los tres ejemplos son matemáticos, el segundo y el tercero son simplemente casos especiales del primer esquema genérico. Para aclarar, los matemáticos generalmente abstraen detalles irrelevantes y se enfocan en propiedades muy específicas de las cosas; así "Sócrates" y "Mortal" son reemplazados por conceptos generales, y así "montón de rocas", "pila de monedas" y "organismo de células" son todos reducidos a la entidad abstracta llamada "conjunto" (y, en estos casos, un conjunto finito).

Todos, parece que no tengo suficientes puntos para responder a su publicación individualmente como un comentario, por lo que responderé a través de un formato de respuesta.

@Beto, sobre por qué me interesa ser capaz de reconocer las matemáticas de una observación. Supongo que se trata de la pregunta básica de ¿cómo sabemos cuándo nos dedicamos a las matemáticas? Vamos a la escuela primaria y nos sentamos en un salón de clases donde un maestro dice, hoy vamos a hablar sobre números enteros, sumas o formas. Sin embargo, a menudo no se menciona por qué estos conceptos pertenecen a una discusión sobre lo que se llama matemáticas. Esto no solo es cierto en las aulas de matemáticas, sino que personalmente lo he encontrado particularmente difícil con las matemáticas porque las matemáticas también aparecen en la química, la biología, la física, la economía, la psicología, etc., por lo que ha sido difícil para mí realizar una respuesta satisfactoria por mi cuenta. Pero, También creo que una explicación generalmente acordada para tal pregunta podría resultar útil para ayudar a los estudiantes a estar mejor equipados para ver la conexión con las matemáticas en muchos aspectos de sus vidas, y tal vez despertar más interés en el tema. Una vez leí un libro que decía que al aprender sobre un tema como las matemáticas, uno debe aprender lo que significa pensar matemáticamente, para poder practicar el pensamiento como un matemático. Me parece un consejo razonable para quizás cualquier campo de estudio, pero cuando les transmita este consejo a mis hijos, espero que hagan buenas preguntas como: Pero, ¿cómo puedo saber (medir) cuando estoy pensando como un matemático, o cómo sé cuándo debo pensar como un matemático, o simplemente cómo sé cuándo estoy haciendo matemáticas.

Mella, creo que haces un buen comentario con respecto al razonamiento deductivo como un método para estudiar matemáticas pero no como un requisito fundamental para estudiar matemáticas. Supongo que una raza alienígena podría venir y comunicar algún cuerpo de conocimiento que no incluiría métodos similares al razonamiento deductivo (desde la perspectiva de humanos y extraterrestres 😊), pero ofrece capacidades similares a las que las matemáticas han ofrecido a los humanos. Aunque tendría curiosidad por saber si los humanos lo aceptarían en el campo de lo que llamamos "Matemáticas", o si en su lugar le darían una nueva etiqueta para distinguir los dos. En la visión que ofreció sobre qué es un objeto matemático, parece que está diciendo que no es el objeto abstracto en sí mismo la clave de lo que hace que algo sea un objeto matemático, pero son las relaciones definidas para esos objetos abstractos las que te llevan allí. (Aunque, volviendo a la conversación sobre el razonamiento deductivo, uno podría considerar el uso de "relaciones" como un método que los humanos han creado para explorar el concepto de las matemáticas... de hecho, uno podría preguntarse en qué parte de las matemáticas algo no retrocede a algún "método" empleado? Tendré que pensarlo más). Pero, si la palabra "propiedad" es sinónimo de "relación", y tuviera que sustituir la palabra propiedad por la palabra relación (o, por extensión, propiedades por relaciones), entonces una de sus oraciones posteriores podría decir: como también un método que los humanos han creado para explorar el concepto de las matemáticas... de hecho, ¿podría preguntarse en qué parte de las matemáticas algo no se relaciona con algún "método" empleado? Tendré que pensar en eso una vez más). Pero, si la palabra "propiedad" es sinónimo de "relación", y tuviera que sustituir la palabra propiedad por la palabra relación (o, por extensión, propiedades por relaciones), entonces una de sus oraciones posteriores podría decir: como también un método que los humanos han creado para explorar el concepto de las matemáticas... de hecho, ¿podría preguntarse en qué parte de las matemáticas algo no se relaciona con algún "método" empleado? Tendré que pensar en eso una vez más). Pero, si la palabra "propiedad" es sinónimo de "relación", y tuviera que sustituir la palabra propiedad por la palabra relación (o, por extensión, propiedades por relaciones), entonces una de sus oraciones posteriores podría decir:

Las únicas relaciones de los números enteros son las presentes en las relaciones entre ellos.

¿Puede ayudarme a aclarar cómo debo interpretar esta observación? Además, si las relaciones son la clave, ¿cuál consideraría que es la distinción entre una relación matemática y una relación no matemática? Y si no es la relación lo que necesita una distinción, entonces, una vez más, ¿cuáles son esos elementos de las matemáticas que las hacen matemáticas? Si no es solo el objeto abstracto, no solo las relaciones, y no solo cómo abordamos el proceso de razonamiento, entonces, ¿hay algo único acerca de cómo interactúan estas tres cosas? Si es así, ¿qué etiqueta le hemos puesto a esta interacción para que todos sepamos de qué estamos hablando cuando queramos referirnos y estudiarla?

@ Quen-tin , tengo una pregunta sobre lo que quiere decir cuando dice que los objetos matemáticos no tienen referencia al mundo externo. ¿Qué entiendes por mundo exterior? ¿Quiere decir que no se requiere que los objetos matemáticos sean objetos físicos que sean observables para los humanos? ¿Quiere decir que los humanos no tienen medios para medir si algún objeto físico se alinea perfectamente con la caracterización de los objetos matemáticos? Del mismo modo, ¿qué quiere decir cuando dice que no tienen aspectos cualitativos?

@CS , gracias por la referencia de literatura sobre el tema... es interesante que haya diferentes escuelas de pensamiento sobre este tema. Ahora que he empezado a pensar en ello, puedo ver por qué sería eso. Es interesante que veas los ejemplos B y C como matemáticos. Supongo que B tiene elementos comúnmente asociados con las matemáticas, como el uso del razonamiento formal. Si pienso en el concepto de "justicia" como un objeto abstracto, supongo que incluso si razono formalmente al respecto, no sé si al hacerlo sería capaz de sacar conclusiones que alguna vez se considerarían matemáticas. Mientras pienso en la discusión con Nick (ver arriba), tal vez no pueda proporcionar una descripción inequívoca de la noción abstracta de justicia en términos de relaciones en un plató.

En general, una vez escuché un video de Utube sobre tiras de Möbius y las preguntas que planteaban no me parecieron matemáticas. Posteriormente, reconocí que ciertamente estaban encontrando formas interesantes de representar de manera abstracta los patrones observados y ciertamente aplicaron el razonamiento deductivo para sacar conclusiones sobre el objeto de estudio. Pero, al principio yo estaba como... ¿cómo es esto de las matemáticas? Fue una vez más un momento en el que me sorprendió que el curso de estudio se considerara matemáticas. Y una vez más me di cuenta de que no tengo una buena base para reconocer el potencial matemático de una observación. Pero, gracias a personas amables como ustedes, siento que estoy empezando a comprender mejor los puntos de discusión sobre el tema. Por lo tanto, ¡muchas gracias por compartir sus pensamientos!

¿Cuáles son las propiedades de los objetos matemáticos?

Primero algunos ejemplos de objetos matemáticos: Números, conjuntos, espacios topológicos, espacios vectoriales, funciones derivables del cálculo, variedades, espacios complejos...

Todos estos objetos son ideas.

La mayoría de estas ideas están bien definidas. Por ejemplo, en un curso de cálculo se define: Una función diferenciable es un mapa de un subconjunto abierto de números reales al conjunto de números reales, que tiene una derivada en cada punto de definición. Una derivada es...

No se pueden definir otros objetos como "conjunto". No se reducen a otros objetos matemáticos. En cambio, estos objetos se presentan como notaciones básicas indefinidas y se caracterizan por axiomas, que a menudo fijan la relación entre tales objetos: para cada dos conjuntos, la unión existe como un conjunto, de modo que los elementos de la unión son exactamente los elementos de los dos. conjuntos originales.

Las definiciones y axiomas se expresan en un lenguaje formal que evita cualquier tipo de ambigüedad. Los matemáticos no discuten entre sí sobre el significado de sus afirmaciones. Esa es una gran diferencia entre los objetos matemáticos y otras ideas, por ejemplo, los conceptos de la filosofía, por no hablar de los conceptos de la teología o incluso la religión.

Es una pregunta abierta por qué los objetos matemáticos y las teorías matemáticas son una herramienta adecuada para formular leyes de la naturaleza. El clásico es "Paul Wigner: La irrazonable eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales (1960)"

Ver http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html

Gracias de nuevo a todos los que han contribuido a las respuestas. Pensé que tomaría lo que he leído y aprendido de varias fuentes hasta la fecha e intentaría responder mi propia pregunta. No pretende ser formal, necesariamente libre de contradicciones o redundancia, o completo, pero aquí hay una respuesta que actualmente ronda en mi cabeza (Nota: tiendo a usar los términos propiedad, característica y calidad indistintamente a lo largo de la respuesta). .

Todas y cada una de las cosas, físicas y no físicas, se pueden caracterizar con la misma etiqueta general. Los humanos comúnmente usan el término " objeto " como una etiqueta que se puede usar para hacer referencia a todas las cosas. Los seres humanos pueden identificar un objeto en particular midiendo (o al menos intentando medir) la naturaleza de las partes o los límites de cualquier aspecto de una observación (física o no física). Todos los objetos tienen algunas cualidades o características que están ligadas al objeto (incluso un término primitivo puede verse como un objeto que tiene la característica de no tener relaciones intrínsecas con otros objetos), por lo que los humanos a menudo pueden identificar un objeto observado previamente basándose en sobre las cualidades o características de una observación actual.

Muchos objetos que han demostrado ser útiles para los seres humanos pueden identificarse mediante el proceso de abstracción, mediante el cual las características comunes observadas en una colección de objetos se etiquetan como un objeto en sí mismo. Algunos de los objetos que se pueden identificar a partir del proceso de abstracción tienen un patrón de cualidades que son consistentes con lo que se conoce como objetos abstractos . Los objetos abstractos tienen un patrón de demostrar al menos las siguientes cualidades:

• son eternos Pero, el conocimiento o significado de ellos para cualquier forma de existencia puede no ser eterno.

• No están obligados a ocupar ninguna dimensión conocida por los humanos.

• No se requiere que sean observables por alguna forma de existencia. De hecho, puede que no haya una colección de existencias que sea capaz de tomar conciencia de todos los objetos abstractos posibles.

• Una colección de objetos abstractos también es un objeto abstracto.

• Los procesos a los que están expuestos los objetos abstractos también son objetos abstractos.

• Una característica asociada con un objeto abstracto también puede verse como un objeto abstracto (por ejemplo, un cubo puede construirse usando cuadrados, que a su vez pueden construirse usando líneas, etc.)

• Un objeto abstracto puede tener todas las propiedades de otro objeto abstracto (por ejemplo, un cuadrado es un caso especial de un rectángulo), pero también puede tener otras propiedades compartidas por otros objetos abstractos.

• Los objetos abstractos pueden asignarse a otros objetos abstractos.

Aunque la identificación de objetos abstractos puede no requerir el proceso de abstracción, parece plausible que la razón por la que se usó la palabra "Abstracto" con la palabra "objeto" fue porque tantos objetos con las cualidades anteriores han sido identificados a través de alguna forma de un proceso de abstracción.

Las matemáticas son la colección de patrones asociados con objetos abstractos en los que los objetos abstractos parecen poseer al menos la siguiente cualidad:

• El estado de sus patrones es eterno. Es decir, tanto el estado de sus características como el estado de sus relaciones con otros objetos abstractos son eternos. En pocas palabras, sus patrones han cambiado y nunca cambiarán.

El tipo de objetos abstractos que poseen esta cualidad a menudo se denominan objetos matemáticos .

Como nota adicional, también parece que:

• Los patrones identificados en los objetos físicos siempre se pueden mapear o representar mediante objetos abstractos; sin embargo, no está claro si existe algún objeto físico que pueda tener propiedades que sean perfectamente idénticas a las de su objeto abstracto asociado.

Entonces, tenemos matemáticos. Los matemáticos identifican y analizan las matemáticas. En la búsqueda de sus estudios, los matemáticos generan una "colección" de métodos aceptados, herramientas, técnicas, estándares y mejores prácticas que son útiles para avanzar en el cuerpo de conocimiento asociado con las matemáticas. Tanto la "colección" como el cuerpo de conocimiento se comparten y modifican a medida que el campo madura como un conjunto de realizaciones matemáticas altamente conectadas.

Entonces, ¿cómo reconocen los humanos los objetos matemáticos? Bueno, ocurre cuando uno es capaz de identificar objetos que contienen las cualidades enumeradas anteriormente para objetos matemáticos, generalmente mientras estudia matemáticas o reflexiona sobre preguntas interesantes que contienen elementos matemáticos. Esto probablemente se hará en el contexto de la versión humana de la "colección" y el cuerpo de conocimiento existente. Al hacerlo, los matemáticos humanos pueden aprovechar enfoques y conclusiones ampliamente aceptados contra el objeto matemático que se observa.