¿Cuáles son las limitaciones de usar este "truco" para relacionar cuantitativamente los cambios de altitud (a través de su velocidad) con las fuerzas aplicadas que los provocan?

Question

¿Cuáles son las limitaciones de usar este "truco" para relacionar cuantitativamente los cambios de altitud (a través de su velocidad) con las fuerzas aplicadas que los provocan?

UH oh

En este comentario, utilicé un "truco" para verificar un cálculo en la publicación anterior.

Usando la ecuación vis-viva, primero determiné que si la ISS perdía 10 metros de altitud en 86400 segundos, ganaría 5,68 mm/seg de velocidad orbital durante ese período de tiempo.

Pero luego traté la razón de esos dos números como si fuera una aceleración y luego igualé esa razón a $F/m$ :

\frac{Δ v_{orbe}}{Δ t} = \frac{F_{retro}}{metro}

$\frac{\Delta v_{\text{orb}}}{\Delta t} = \frac{F_{\text{retro}}}{m}$

dónde $F_{\text{retro}}$ es cualquier fuerza retrógrada promedio que habría producido esa pérdida de altitud (en este caso, arrastre), $\Delta v_{\text{orb}}$ es el cambio (aumento) en la velocidad orbital y $m$ es la masa de la ISS.

Si tienes una fuerza prograda, elevarás la órbita y $\Delta v_{\text{orb}}$ será negativo.

Aprendí este "truco" hace un tiempo, probablemente de alguna respuesta de @MarkAdler, y para órbitas casi circulares y cambios de velocidad pequeños o lentos, tiende a funcionar bien.

Pregunta: ¿Cuáles son las limitaciones de este "truco"? ¿Se puede extender a órbitas elípticas de alguna manera? ¿Se puede utilizar con grandes impulsos? ¿Se puede utilizar con espirales lentas vistas en cálculos de vela solar o propulsión eléctrica? ¿Funcionará en otros universos?

usuario39728

Entonces, asumiste una órbita circular y usaste la segunda ley de Newton para estimar la fuerza neta que habría producido la desaceleración dada por vis-viva. Si la elipse es casi circular, entonces no puedo imaginar que el error sea significativo, e incluso si lo fuera, probablemente aún podría obtener una cifra útil de orden de magnitud, ¿parece?

usuario39728

Pero parece que la única diferencia en la fuerza de arrastre vendría de una diferencia en la velocidad y la densidad del aire. A menos que la órbita sea muy elíptica, parece que el cambio en la densidad del aire (una función de la altitud) sería pequeño. Y aunque la velocidad instantánea variaría, en escalas de tiempo largas lo que importa es la velocidad promedio. ¿No sería esa velocidad promedio la misma que para una órbita circular con un radio igual a su semieje mayor? Yo olvido. No puedo imaginar que el error sea muy grande para órbitas ligeramente elípticas como la de la ISS.

UH oh

@ user39728 Sí, funciona exactamente en el ejemplo muy específico y restringido al que me he vinculado, y no sé qué tan rápido se descompone a medida que se relajan las restricciones. Con suerte, una respuesta abordará qué tan rápido y de qué manera se desarrolla ese desglose de una manera matemática.

Respuestas (1)

¿Cuáles son las limitaciones de usar este "truco" para relacionar cuantitativamente los cambios de altitud (a través de su velocidad) con las fuerzas aplicadas que los provocan?

Entonces, asumiste una órbita circular y usaste la segunda ley de Newton para estimar la fuerza neta que habría producido la desaceleración dada por vis-viva. Si la elipse es casi circular, entonces no puedo imaginar que el error sea significativo, e incluso si lo fuera, probablemente aún podría obtener una cifra útil de orden de magnitud, ¿parece?
Pero parece que la única diferencia en la fuerza de arrastre vendría de una diferencia en la velocidad y la densidad del aire. A menos que la órbita sea muy elíptica, parece que el cambio en la densidad del aire (una función de la altitud) sería pequeño. Y aunque la velocidad instantánea variaría, en escalas de tiempo largas lo que importa es la velocidad promedio. ¿No sería esa velocidad promedio la misma que para una órbita circular con un radio igual a su semieje mayor? Yo olvido. No puedo imaginar que el error sea muy grande para órbitas ligeramente elípticas como la de la ISS.
@ user39728 Sí, funciona exactamente en el ejemplo muy específico y restringido al que me he vinculado, y no sé qué tan rápido se descompone a medida que se relajan las restricciones. Con suerte, una respuesta abordará qué tan rápido y de qué manera se desarrolla ese desglose de una manera matemática.

asdfex · Answer 1

TL; DR Funciona para una gran cantidad de cambios de órbita.

Primero, tomemos tu ecuación y reorganicémosla para deshacernos de valores inconvenientes como fuerza, tiempo y masa.

\frac{Δ v_{orbe}}{Δ t} = \frac{F_{retro}}{metro}

$\frac{\Delta v_{\text{orb}}}{\Delta t} = \frac{F_{\text{retro}}}{m}$

Δ v_{orbe} = \frac{F_{retro} Δ t}{metro} = - Δ v_{maniobra}

$\Delta v_{\text{orb}} = \frac{F_{\text{retro}} \Delta t}{m} = - \Delta v_{\text{maneuver}}$

$\frac{F\cdot t}{m}$ no es más que un cambio de velocidad, esta vez debido al disparo de unos cohetes. Por lo tanto, afirma que el cambio en la velocidad orbital tiene la misma magnitud que el cambio de velocidad requerido para la transferencia orbital, justo en el signo opuesto.

Supongamos que la transferencia se realiza mediante una transferencia Hohmann: para pequeños cambios en la órbita, esto debería ser casi óptimo y muy similar a una maniobra de bajo empuje. Además, suponemos dos órbitas circulares.

La ecuación vis-viva para órbitas circulares es un simple $v = \sqrt{\mu \over r}$ y la diferencia entre dos órbitas es $\Delta v_O = \sqrt{\mu \over r_2} - \sqrt{\mu \over r_1}$

El total $\Delta v$ de una transferencia de Hohmann viene dada por

Δ v_{H} = \sqrt{\frac{m}{r_{1}}} (\sqrt{\frac{2 r_{2}}{r_{1} + r_{2}}} - 1) + \sqrt{\frac{m}{r_{2}}} (1 - \sqrt{\frac{2 r_{1}}{r_{1} + r_{2}}})

$\Delta v_H = \sqrt{\frac{\mu}{r_1}} \left( \sqrt{\frac{2 r_2}{r_1+r_2}} - 1 \right)+ \sqrt{\frac{\mu}{r_2}} \left(1 - \sqrt{\frac{2 r_1}{r_1+r_2}}\right)$

Si reorganizamos eso:

Δ v_{H} = - \sqrt{\frac{m}{r_{1}}} + \sqrt{\frac{2 m r_{2}}{r_{1}^{2} + r_{1} r_{2}}} + \sqrt{\frac{m}{r_{2}}} - \sqrt{\frac{2 m r_{1}}{r_{2}^{2} + r_{1} r_{2}}}

$\Delta v_H = -\sqrt{\frac{\mu}{r_1}} + \sqrt{\frac{2 \mu r_2}{r_1^2+r_1r_2}} + \sqrt{\frac{\mu}{r_2}} - \sqrt{\frac{2\mu r_1}{r_2^2+r_1r_2}}$

El primer y tercer término combinados son lo mismo que $\Delta v_O$ !

Δ v_{H} = Δ v_{O} + \sqrt{\frac{2 m r_{2}}{r_{1}^{2} + r_{1} r_{2}}} - \sqrt{\frac{2 m r_{1}}{r_{2}^{2} + r_{1} r_{2}}}

$\Delta v_H = \Delta v_O + \sqrt{\frac{2 \mu r_2}{r_1^2+r_1r_2}} - \sqrt{\frac{2\mu r_1}{r_2^2+r_1r_2}}$

La diferencia de los dos términos adicionales es muy pequeña para pequeños cambios en el radio orbital, pero ¿qué tan pequeña? Supongamos una órbita inicial con $r = 6700~\text {km}$ :

En realidad, la diferencia es tan pequeña que no hay un solo píxel morado en este gráfico. Veamos la proporción:

De hecho, ¡necesitamos transferir entre una órbita de 300 km y una de 3000 km para alcanzar un error del orden del 1%!

¿Cuáles son las limitaciones de usar este "truco" para relacionar cuantitativamente los cambios de altitud (a través de su velocidad) con las fuerzas aplicadas que los provocan?

UH oh

usuario39728

usuario39728

UH oh

Respuestas (1)

asdfex

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