¿Cuáles son las condiciones necesarias/suficientes para que un sistema sea hamiltoniano/no hamiltoniano?

Un sistema mecánico es hamiltoniano si está descrito por una función escalar$H:\Gamma\to\mathbb R$, dónde$\Gamma$es una variedad de dimensión par, que corresponde físicamente al paquete cotangente al espacio de configuración (esta interpretación podría carecer de interpretación física, cf. http://www.ltcc.ac.uk/courses/BioMathematics/LTCC_LV2010.pdf en el enfoque hamiltoniano de las ecuaciones de Lotka-Volterra). La dinámica surge a través del flujo local definido por el campo vectorial hamiltoniano.$X_H$, que proviene de tomar la forma 1$\text d H$y llevándolo al haz tangente a través de la estructura simpléctica natural (de forma simpléctica$\omega$) en$\Gamma$por

$$\text d H := \iota_{X_H}\omega.$$ Una propiedad notable de los sistemas hamiltonianos viene dada por el teorema de Liouville, que establece que el volumen de una superficie cerrada en$\Gamma$es preservada por el flujo generado por$X_H$. En términos generales, esto significa que cada punto dentro de dicha superficie, cuando se toma como una condición inicial para la ecuación de movimientos, evoluciona de tal manera que el volumen de la superficie cerrada permanece constante en cualquier momento, aunque puede cambiar de forma a través de la evolución del tiempo. Los sistemas mecánicos que no exhiben este fenómeno posiblemente no pueden ser hamiltonianos y, por lo tanto, las ecuaciones no pueden derivarse, como se describió anteriormente, a partir de una sola función escalar.

Está mezclando dos definiciones diferentes de "sistema hamiltoniano". La definición estándar es "un sistema que obedece a las ecuaciones de Hamilton y cuyo hamiltoniano es independiente del tiempo". Es solo bajo esta definición que las afirmaciones "los sistemas hamiltonianos conservan energía" y "los sistemas hamiltonianos describen dinámicas reversibles" son verdaderas. No puede encontrar un ejemplo de un sistema hamiltoniano (en este sentido) que no conserve energía, porque los sistemas hamiltonianos conservan energía por definición.

Bajo su definición más débil y no estándar: "Un sistema hamiltoniano es un sistema que obedece a las ecuaciones de Hamilton", es bastante simple encontrar ejemplos que no conservan energía: simplemente escriba un sistema conservativo más un término de fricción. El ejemplo más familiar sería el oscilador armónico amortiguado.