¿Se conserva o no el hamiltoniano?

Question

¿Se conserva o no el hamiltoniano?

usuario43796

La pregunta es la última oración al final de esta publicación. En esta publicación, primero mostraré que el hamiltoniano se conserva ya que no tiene una dependencia explícita en el tiempo y luego mostraré que el hamiltoniano no se conserva ya que cuando se calcula directamente, se encuentra que la derivada no desaparece. Una cuenta se enrosca en un bucle de alambre vertical sin fricción de radio $R$ . El bucle gira con respecto a un eje fijo que se muestra en la figura a una velocidad angular constante $\omega$ . El lagrangiano está dado por

L = \frac{1}{2} {\dot{θ}}^{2} R^{2} + \frac{1}{2} R^{2} {pecado}^{2} θ ω^{2} + gramo R (porque θ - 1)

$L=\frac{1}{2}\dot\theta^2R^2+\frac{1}{2}R^2\sin^2\theta\omega^2+gR(\cos\theta-1)$ , dónde

θ

$\theta$ se define en la figura (la flecha cerca del carácter

θ

$\theta$ indica la dirección en la que aumenta).

La ecuación de movimiento:

\ddot{θ} = pecado θ porque θ ω^{2} - \frac{gramo}{R} pecado θ

$\ddot\theta=\sin\theta\cos\theta\omega^2-\frac gR\sin\theta$

Dado que el hamiltoniano está dado por $H=\frac{1}{2}\dot\theta^2R^2+\frac{1}{2}R^2\sin^2\theta\omega^2-gR(\cos\theta-1)$ , vemos que no hay una dependencia explícita del tiempo; por lo tanto, esperamos que el hamiltoniano se conserve. Sin embargo, cuando calculamos directamente la derivada total del hamiltoniano, podemos ver que la derivada no es cero:

\dot{H} = \dot{θ} (\ddot{θ} R^{2} + R^{2} pecado θ porque θ ω^{2} + gramo R pecado θ) = 2 \dot{θ} R^{2} pecado θ porque θ ω^{2},

$\dot H=\dot \theta(\ddot \theta R^2+R^2\sin\theta\cos\theta{\omega}^2+gR\sin\theta)=2\dot\theta R^2\sin\theta\cos\theta{\omega}^2,$ donde hacemos uso del eom y sustituimos

\ddot{θ} R^{2}

$\ddot\theta R^2$ por los plazos correspondientes.

Preocupación: Claramente falta algo aquí. Espero que otras personas puedan ayudar a señalar algún error que cometí en el razonamiento anterior.

qmecanico

Cruzado a math.stackexchange.com/q/1536244/11127

Respuestas (1)

¿Se conserva o no el hamiltoniano?

una mente curiosa · Answer 1

el hamiltoniano $H(\theta,p_\theta)$ debe formularse en términos de la coordenada $\theta$ y su momento canónicamente conjugado $p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = R^2 \dot\theta$ . La expresión correcta para el hamiltoniano es
$\begin{aligned} H (θ, {pag}_{θ}) & = {pag}_{θ} \dot{θ} (θ, {pag}_{θ}) - L (θ, \dot{θ} (θ, {pag}_{θ})) \\ = \frac{{pag}_{θ}^{2}}{2 R^{2}} - \frac{1}{2} R^{2} {pecado}^{2} (θ) ω^{2} - gramo R (porque (θ) - 1) \end{aligned}$ $\begin{align} H(\theta,p_\theta) & = p_\theta \dot{\theta}(\theta,p_\theta) - L(\theta,\dot{\theta}(\theta,p_\theta)) \\ & = \frac{p_\theta^2}{2R^2} - \frac{1}{2}R^2\sin^2(\theta)\omega^2 - gR\left(\cos(\theta)-1\right)\end{align}$ donde debe tener cuidado con los signos (tenga en cuenta el signo diferente para el segundo término en comparación con el suyo). Si toma la misma expresión con dependencia de $\dot{\theta}$ en lugar de $p_\theta$ , no es el hamiltoniano, sino simplemente alguna expresión que a menudo es la energía.
Para sistemas hamiltonianos generales con hamiltonianos independientes del tiempo en coordenadas $q$ con momentos $p$ tenemos lo siguiente: dado que el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo, su derivada desaparece al usar las ecuaciones de movimiento hamiltonianas
$\dot{pag} = - \frac{\partial H}{\partial q} \land \dot{q} = \frac{\partial H}{\partial pag}$ $\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q} \quad \land \quad \dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}$ para una trayectoria hamiltoniana $(q(t),p(t))$ desde que conecté esto $\frac{d H}{d t} = \frac{\partial H}{\partial pag} \dot{pag} + \frac{\partial H}{\partial q} \dot{q}$ $\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial H}{\partial p}\dot{p}+\frac{\partial H}{\partial q}\dot{q}$ da cero independientemente de la forma real de las ecuaciones de movimiento . Si obtiene un resultado diferente, simplemente cometió un error en sus cálculos en alguna parte, no puede suceder que el hamiltoniano no sea constante a lo largo de una trayectoria que es una solución de las ecuaciones de movimiento.

Dado que las ecuaciones de movimiento hamiltonianas son equivalentes a las ecuaciones de movimiento lagrangianas en este caso (sin restricciones), también debe ser constante si se expresa en las velocidades generalizadas lagrangianas en lugar de los momentos.

¿Cuándo el hamiltoniano es igual a la energía total y cuándo no?

¿Se conserva o no el hamiltoniano?

usuario43796

qmecanico

Respuestas (1)

una mente curiosa

usuario43796

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