¿Cuáles son las cargas conservadas relacionadas con los generadores Virasoro?

El generador de traducciones a lo largo$\tau$, la coordenada larga del cilindro, es$L_0$(o quizás$L_0-a$por alguna constante$a$en la antigua cuantificación covariante, pero no discutiré aquí la antigua cuantificación covariante). Este generador se reinterpreta como el generador de escalado de la dirección radial,$r\to r\cdot \exp(\Delta \tau)$.

Ahora bien, los cargos conservados bajo estos$L_0$-traducciones generadas de$\tau$son los que viajan con$L_0$. Claramente,$L_0$es el único generador del álgebra de Virasoro que se conserva en este sentido porque conmuta con$L_0$. otros obedecen

$$[L_m,L_0] = m L_m$$ El conmutador es distinto de cero, por lo que no conmutan. Estos $L_m$los operadores son "estados propios" bajo $L_0$con el valor propio distinto de cero $m$que garantiza que ninguna combinación de ellos pueda conmutar con $L_0$. $L_0$midiendo la energía total en el cilindro – o la dimensión del operador insertado en $r=0$en la cuantización radial – se conserva porque conmuta consigo mismo.

Por supuesto, puede haber generadores de simetría fuera del álgebra de Virasoro que conmutan con$L_0$, por ejemplo generadores de isometrías de espacio-tiempo, heteróticos$SO(32)$o$E_8\times E_8$, etc.

Si esperaba más cargos dentro del álgebra de Virasoro que deberían conservarse, bueno, no está muy claro por qué lo hizo. ;-) Pero si tiene algo que ver con el hecho de que una forma arbitraria del contorno de las integrales produce el mismo resultado, está bien, pero esa es la holomorficidad que ya está "totalmente incluida" en el álgebra de Virasoro.

La independencia de la integral de contorno sobre la forma detallada del contorno es equivalente al hecho de que la integral sobre un contorno que rodea el origen en$r=0$cero veces se desvanece. Entonces, todas las integrales/cargas que corresponden a dichos contornos evitando el origen (por ejemplo, cosas como$\oint T(z) dz$sobre dichos contornos) no sólo se conservan; son cero Así que no son operadores independientes. Tenga en cuenta que el vector cero (u operador) no es independiente de sí mismo. ;-) No hablamos de "ellos" (todos esos ceros) en absoluto. Si solo pueden ser cero, no existen. No almacenan ninguna información: se garantiza que su medición producirá$0$por lo que no es necesario medirlos. Solo se habla de los operadores que tienen algunos valores propios distintos de cero y$L_0$es el único que se conserva en el álgebra de Virasoro.

El generador$L_0$es equivalente a la integral de$T(z)z$sobre un contorno que incluye el origen y ese es el poder correcto de$z$que recoge el residuo. Los otros generadores son integrales de$T_z$veces otros poderes de$z$por lo que efectivamente eligen los coeficientes de otras singularidades$1/z^n$cerca del origen. Así que todos estos cargos están vinculados a algún comportamiento singular cerca$z=0$. Si todas las cosas son regulares en todo el plano, incluyendo$z=0$, entonces todos los cargos son cero.