¿Cómo obtuvieron las transformaciones de Lorentz su definición moderna?

Históricamente, la Relatividad Especial estuvo motivada por aparentes inconsistencias entre la Electrodinámica de Maxwell y la Mecánica Newtoniana. En el conocido artículo de Einstein "Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento", explica bastante bien sus motivaciones.

Los objetos centrales de la teoría son las transformaciones de Lorentz. Si uno olvida las motivaciones, la historia y la intuición, las transformaciones de Lorentz se definen formalmente como las transformaciones lineales Λ : R 4 → R 4 tal que

η ( Λ v , Λ w ) = η ( v , w ) ,

dónde η = diagnóstico ⁡ ( − 1 , 1 , 1 , 1 ) . Además, parece que antes de esta definición se definían como las transformaciones que mantienen igual la velocidad de la luz en todos los fotogramas.

Mi pregunta es: ¿cómo obtuvieron las transformaciones de Lorentz esta definición moderna?

¿Cómo se definieron por primera vez, cómo se relacionaron con el artículo de Einstein y cómo obtuvieron la definición moderna como "transformaciones que preservan el producto interno del espacio-tiempo"? Específicamente me interesa saber cómo a partir de las motivaciones de la relatividad los físicos llegaron a la definición de las transformaciones de Lorentz como las transformaciones Λ tal que η ( Λ X , Λ y ) = η ( X , y )

Esta pregunta realmente no tiene mucho sentido. Discute dos definiciones matemáticamente equivalentes y pregunta cuándo una dio paso a la otra. Dado que son matemáticamente equivalentes, no hay razón para que uno deba ceder el paso al otro. Esto es solo una cuestión de preferencias de un autor en particular con respecto a cómo presentar el tema.
Creo que la redacción salió de manera confusa. No estoy preguntando por qué uno elegiría lo último en lugar de lo primero. Estoy de acuerdo en que es una cuestión de preferencia. Pero que yo sepa, la primera definición utilizada fue la basada en los postulados de Einstein que aparecen en su artículo. La otra definición, equivalente a la primera, creo que apareció después. Lo que pregunto aquí es cómo llegaron los físicos a la segunda definición. ¿Cómo, desde el primer acercamiento, que es el que presentó Einstein, se descubrió que esta otra definición podía hacer lo mismo? No es una cuestión de cuál elegir.

Respuestas (3)

Wikipedia tiene un artículo muy adecuado y bien documentado sobre la Historia de las transformaciones de Lorentz . Voigt formuló los que no son del todo modernos en 1887, de los que Lorentz no estaba al tanto, y tuvo que elaborar su propia versión de forma independiente. Esto podría haber estado bien ya que más tarde dijo que habría usado los de Voigt si los hubiera conocido, pero los presentó parcialmente (sin la dilatación del tiempo) en 1895, la primera versión completa se debe a Larmor (1897). Aparentemente, Lorentz tampoco estaba al tanto de eso, y proporcionó su propia versión completa en 1899, consulte ¿Qué hizo que Einstein creyera (o supiera) que el tiempo se vio afectado por la velocidad y la gravedad?. Ninguno de ellos vio las transformaciones algebraicamente o cinemáticamente, se vio que describían efectos dinámicos en cuerpos que se mueven a altas velocidades. Larmor incluso complementó una hipótesis de que las fuerzas moleculares son de naturaleza electromagnética, lo que explicaría los efectos. Pero como mostró Poincaré en 1905, las fuerzas puramente electromagnéticas no podían explicar la estabilidad del electrón. Tuvo que conjeturar una fuerza estabilizadora adicional no electromagnética que, sin embargo, obedecía a las mismas leyes de transformación, lo que la hizo ad hoc.

La primera observación algebraica, que las transformaciones forman un grupo, fue hecha por Poincaré en sus artículos de 1904-1906 sobre la dinámica del electrón, pero según Weinstein "Poincaré no asoció esta forma cuadrática con la propagación de la luz para definir un intervalo nulo como Einstein o una métrica como Minkowski". Esto es particularmente sorprendente porque los grupos involucrados en las geometrías kleinianas generalmente se obtienen considerando todas las transformaciones que conservan una forma cuadrática, como bien sabía Poincaré. Como aludió Weinstein, fue Einstein en 1905 quien primero las caracterizó cinemáticamente, como las transformaciones que preservan la velocidad de la luz en todos los marcos (es decir, preservan el intervalo nulo), y solo Minkowsky, inspirado en el artículo de Einstein, dio la formulación geométrica moderna de ellos como las transformaciones que preservan una (pseudo) métrica en 1907-1909, ver What Cuál fue la motivación del espacio-tiempo de Minkowski antes de la relatividad especial?

Las transformaciones deben preservar la estructura de las ecuaciones de Maxwell, que luego preserva automáticamente la velocidad de la luz. Voigt, 1887, fue el primero , pero hubo varias derivaciones independientes. Tenga en cuenta que las transformaciones de Voight no son exactamente las mismas que las de Lorentz. Estos últimos son consistentes con el Principio de Relatividad.

Esas páginas de Wikipedia y Wikiversity ( Historia de las transformaciones de Lorentz e Historia de los temas en la relatividad especial ) tienen mucha información sobre la historia matemática de las transformaciones de Lorentz que conservan:

± [ X 0 2 − X 1 2 − X 2 2 − X 3 2 ]

A partir de 1800 por Gauss y muchos otros, las formas cuadráticas equivalentes al intervalo del espacio-tiempo y sus transformaciones fueron estudiadas en la teoría de formas cuadráticas indefinidas, funciones elípticas, geometría hiperbólica, mucho antes de que Lorentz, Einstein o Minkowski las usaran en física.

Transformaciones de Lorentz más generales Lagrange (1773), Gauss (1798–1818), Jacobi (1827, 1833/34), Lebesgue (1837), Bour (1856), Somov (1863), Killing (1878–1893), Poincaré (1881) ), Cox (1881-1883), Hill (1882), Picard (1882-1884), Callandreau (1885), Lie (1885-1890), Gérard (1892), Hausdorff (1899), Woods (1901-05), Liebmann (1904–05)

LT mediante transformación ortogonal imaginaria Euler (1771), Wessel (1799), Cauchy (1829), Lie (1871), Minkowski (1907-1908), Sommerfeld (1909)

LT a través de funciones hiperbólicas Riccati (1757), Lambert (1768-1770), Taurinus (1826), Cayley (1859-84), Beltrami (1868), Klein (1871), Laisant (1874), Escherich (1874), Glaisher ( 1878), Günther (1880/81), Schur (1885/86, 1900/02), Lindemann (1890–91), Gérard (1892), Killing (1893,97), Woods (1903), Whitehead (1897/98) ), Liebmann (1904–05), Herglotz (1909/10)

LT a través de la velocidad Euler (1735), Beltrami (1868), Schur (1885/86, 1900/02), Lipschitz (1885–86), Voigt (1887), Heaviside (1888), Thomson (1889), Searle (1896) , Lorentz (1892, 1895), Larmor (1897, 1900), Lorentz (1899, 1904), Poincaré (1900, 1905), Einstein (1905), Minkowski (1907–1908), Sommerfeld (1909), Herglotz (1909/ 10), Varićak (1910), Ignatowski (1910), Noether (1910), Klein (1910), Conway (1911), Silberstein (1911), Ignatowski (1910/11), Herglotz (1911), Borel (1913–14 ), Gruner (1921)

LT a través de ondas conformes, esféricas y transformación de Laguerre , Bateman y Cunningham (1909-1910)

LT a través de la transformación Cayley-Hermite
Euler (1771), Cayley (1846-1884), Hermite (1853, 1854), Bachmann (1869), Laguerre (1882), Darboux (1887), Smith (1900), Borel (1913-14) )

LT mediante parámetros de Cayley–Klein, Möbius y transformaciones de espín Lagrange (1773), Gauss (1800), Cayley (1854), Klein (1871–97), Selling (1873–74), Poincaré /1881-86), Bianchi (1888) -93), Fricke (1891-1897), Woods (1895), Herglotz (1909/10)

LT a través de cuaterniones y números hiperbólicos Euler (1771), Hamilton (1844/45), Cayley (1845), Cockle (1848), Cox (1882), Stephanos (1883), Buchheim (1884–85), Lipschitz (1885/86) ), Vahlen (1901/02), Noether (1910), Klein (1910), Conway (1911), Silberstein (1911)

LT mediante funciones trigonométricas Bianchi (1886–1893), Darboux (1881/94), Scheffers (1899), Eisenhart (1905), Varićak (1910), Gruner (1921)

LT a través de mapeos de compresión Laisant (1874), Lie (1879-84), Günther (1880/81), Laguerre (1882), Darboux (1883–1891), Lipschitz (1885/86), Bianchi (1886–1893), Lindemann (1890/91), Smith (1900), Eisenhart (1905)

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