¿Cuál es una medida apropiada de determinación en los estudios genéticos?

Pregunta principal

¿Cuál es una medida apropiada de determinación en los estudios genéticos?

Solía ​​pensar eso$R^2$era tal medida, pero ya no estoy tan seguro. En concreto, parece que$R^2$infravalora la baja determinación y sobrevalora la alta determinación.

La razón de mi duda en$R^2$proviene de la siguiente simulación.

modelo sencillo

Para simplificar, supongamos que una característica como la altura (peso, cociente de inteligencia, cociente de autismo, etc.) de un individuo se hereda de una madre y un padre de la siguiente manera:

(fathersHeight * fathersInfluence + mothersHeight * (1 - fathersInfluence))/2,

donde fathersInfluencees una constante entre 0 y 1.

Para dar un ejemplo específico, si la madre mide 170 cm y el padre mide 190 cm , y fathersInfluencemide 0,5, entonces sabemos que su hijo medirá exactamente 180 cm .

Supongamos además que solo podemos medir la característica de cualquier padre y cualquier hijo. No podemos medir la característica de cualquier madre.

Digamos que vamos a tratar de predecir la altura del hijo a partir de la altura del padre usando una regresión lineal buena y antigua, y reportar cuánto de la altura del hijo se determina a partir de la altura del padre. Esto se puede hacer con bastante facilidad en python

_, _, r_value, _, _ = scipy.stats.linregress(fathers, sons)

Toda la simulación se puede envolver en la siguiente función de Python:

def sonsHeight(sampleSize, fathersInfluence=0.5):
    # loc = mean
    # scale = standard deviation
    fathers = scipy.stats.norm.rvs(loc=170, scale=10, size=sampleSize)
    mothers = scipy.stats.norm.rvs(loc=170, scale=10, size=sampleSize)

    def weightedAvg(fathersHeight, mothersHeight):
        return (fathersHeight * fathersInfluence + mothersHeight * (1 - fathersInfluence))/2

    sons = [weightedAvg(father, mother) for father, mother in zip(fathers, mothers)]

    _, _, r_value, _, _ = scipy.stats.linregress(fathers, sons)
    return r_value ** 2

Si tomamos, fathersInfluence = 0.5esperaría que cualquier medida de determinación exitosa informara que la altura del padre determina la altura del hijo en un 50%.$R^2$pasa esta verificación, ejecutar la simulación con 1 millón de hijos y padres da:

>>> size = 1000000
>>> print(sonsHeight(size, fathersInfluence=0.5))
>>> 0.500071151111

lo que parece tranquilizador. Sin embargo, los valores de$R^2$para fathersInfluencecualquier diferente de 0,5, parece converger en probabilidad a valores inesperados. De hecho, ejecutando el experimento 101 veces, para valores de fathersInfluence0 a 1 en pasos de 0,01, obtenemos la siguiente curva agradable, que tranquilizadoramente pasa cerca de$(0, 0)$y$(1, 1)$, ¡pero sorprendentemente no es una línea recta!

Sin embargo, se vuelve más perturbador cuando valores particulares de$R^2$se miran, especialmente para fathersInfluencecerca de 0 o cerca de 1 (todos$R^2$provienen de tomar una muestra de 1 millón).

En particular, para valores pequeños de fathersInfluence, digamos

$0.01$,$0.02$,$0.03$

los valores de$R^2$mirar de cerca

$0.01^2$,$0.02^2$,$0.03^2$.

Incluso para fathersInfluencede$0.1$El valor de$R^2$está apenas por encima$1\%$!

fathersInfluence, R^2
0.01, 7.3243188318051775e-05
0.02, 0.00042435668897930067
0.03, 0.00097257546851807486
..., ...
0.1, 0.012287962714812851
..., ...
0.97, 0.99904501126494283
0.98, 0.9995837493389228
0.99, 0.99989808360606525

Preguntas

1. ¿Hay una medida de determinación, que en contra fathersInfluenceme daría una buena línea recta que pasa a través de$(0, 0)$,$(1/2, 1/2)$y$(1, 1)$?
2. ¿Sería deseable tal medida?
3. ¿Qué otras medidas de determinación se pueden utilizar, especialmente cuando la determinación es baja?

Observaciones

Me doy cuenta de que el modelo presentado de cómo funciona la genética es probablemente demasiado simplista y tal vez no sea útil como se indica. Sin embargo, creo que se parece a un buen modelo para la genética en varios aspectos:

1. Tenemos algo que podemos medir (por ejemplo, el nivel de expresión génica) y estamos observando como ruido aleatorio cosas importantes que no podemos medir (factores ambientales).
2. La variable independiente (nivel de expresión génica) puede influir ligeramente en la variable dependiente (altura, coeficiente intelectual, etc.).

Se puede acceder a todo el código utilizado para ejecutar esta simulación en github .