¿Cuál es la simetría del triplete de piones (π−,π0,π+π−,π0,π+\pi^{-}, \pi^{0}, \pi^{+})?

$\newcommand{\BK}[3]{\left|{#1},{#2}\right\rangle_{#3}} \newcommand{\BKB}[3]{\mathbf{\left|{#1},{#2}\right\rangle_{\boldsymbol{#3}}}} \newcommand{\FR}[2]{{\textstyle \frac{#1}{#2}}} \newcommand{\BoldExp}[2]{{#1}^{\boldsymbol{#2}}} \newcommand{\CMRR}[2] { \begin{bmatrix} #1 \\ #2 \end{bmatrix} } \newcommand{\MM}[4] { \begin{bmatrix} #1 & #2\\ #3 & #4 \end{bmatrix} } \newcommand{\MMM}[9] { \begin{bmatrix} #1 & #2 & #3 \\ #4 & #5 & #6 \\ #7 & #8 & #9 \\ \end{bmatrix} } \newcommand{\CMRRRR}[4] { \begin{bmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{bmatrix} } \newcommand{\CMRRR}[3] { \begin{bmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{bmatrix} } \newcommand{\RMCC}[2] { \begin{bmatrix} #1 & #2 \end{bmatrix} } \newcommand{\RMCCC}[3] { \begin{bmatrix} #1 & #2 & #3 \end{bmatrix} } \newcommand{\RMCCCC}[4] { \begin{bmatrix} #1 & #2 & #3 & #4 \end{bmatrix} } \newcommand{\OSS}[1] {\overset{\boldsymbol{\sim}}{#1}} \newcommand{\BoldSub}[2]{{#1}_{\boldsymbol{#2}}} \newcommand{\OSB}[1] {\overset{\boldsymbol{-\!\!\!\!\!-}}{#1}}$

Estos piones son mesones, partículas compuestas de un quark.$\boldsymbol{\lbrace}\boldsymbol{u},\boldsymbol{d}\boldsymbol{\rbrace}$y un antiquark$\boldsymbol{\lbrace}\OSB{\boldsymbol{u}},\overline{\boldsymbol{d}}\boldsymbol{\rbrace}$:

$$\begin{equation} \begin{array}{cccccccc} &\boldsymbol{\lbrace}\boldsymbol{u},\boldsymbol{d}\boldsymbol{\rbrace} \!\!\!\!\!&\boldsymbol{\otimes}& \!\!\!\!\boldsymbol{\lbrace}\OSB{\boldsymbol{u}},\overline{\boldsymbol{d}}\boldsymbol{\rbrace} & \!\!\boldsymbol{=}\!\! & \boldsymbol{\lbrace}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\rbrace}& \!\!\!\!\boldsymbol{\oplus}\!\!&\boldsymbol{\lbrace}\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{-},\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{0},\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{+}\boldsymbol{\rbrace} & \\ & \boldsymbol{2}\!\!\!\!\! & \boldsymbol{\otimes} & \!\!\!\!\OSB{\boldsymbol{2}} & \!\!\boldsymbol{=}\!\!&\boldsymbol{1}&\!\!\!\!\boldsymbol{\oplus}\!\!&\boldsymbol{3}& \end{array} \tag{01}\label{eq01} \end{equation}$$ $$\begin{align} &\left\{ \boldsymbol{\omega} = \sqrt{\tfrac{1}{2}}\left(\boldsymbol{u}\OSB{\boldsymbol{u}}+\boldsymbol{d}\overline{\boldsymbol{d}} \right)\hphantom{=\,}\right\} \quad \,\text{the singlet }\boldsymbol{1} \tag{02.1}\label{eq02.1}\\ &\left. \begin{cases} \BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{-} =\boldsymbol{d}\OSB{\boldsymbol{u}} \\ \BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{0} =\sqrt{\tfrac{1}{2}}\left(\boldsymbol{u}\OSB{\boldsymbol{u}}-\boldsymbol{d}\overline{\boldsymbol{d}} \right)\\ \BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{+} =\boldsymbol{u}\overline{\boldsymbol{d}} \end{cases}\right\}\quad \text{the triplet }\boldsymbol{3} \tag{02.2}\label{eq02.2} \end{align}$$ Los subespacios$\;\boldsymbol{1},\boldsymbol{3}\;$son invariantes bajo el grupo isospin$\;SU(2)$.

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EDITAR

responde a un comentario del propietario del OP:

Está bien esta explicación. Pero todavía tengo una perplejidad. Mientras que los tres piones ($\pi^{-}, \pi^{0}, \pi^{+}$) tener un$SU(2)$simetría, ¿por qué los tres quarks ($u,d,s$) tener un$SU(3)$[no$SU(2)$] simetría? Más generalmente, dadas tres partículas similares, ¿cómo sabemos si tienen un$SU(2)$simetría o una$SU(3)$¿simetría?

No debemos confundir el número$\;n\;$del grupo de simetría$\;SU(n)\;$con el numero$\;m\;$de la resultante$\;m-$plets (singletes, dobletes, trillizos,... nonetos, etc).

En los siguientes tres ejemplos el número$\;n\;$del grupo de simetría$\;SU(n)\;$es el numero de la$\;n\;$independiente$\;n-$sistemas dimensionales que juntamos para construir un sistema compuesto.

$\color{blue}{\textbf{Example A :}}$Si juntamos una partícula$\;\alpha\;$del momento angular de espín$\;j_{\alpha}=\frac12\;$con una partícula$\;\beta\;$del momento angular de espín$\;j_{\beta}=\frac12\;$entonces los multipletes resultantes son un singlete de momento angular$\;j_{1}=0\;$y un triplete de momento angular$\;j_{2}=1\;$

$$\begin{equation} \boldsymbol{2}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{2}=\boldsymbol{1}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{3} \tag{ed-01}\label{eqed-01} \end{equation}$$ Ahora vamos a aplicar lo siguiente$\;SU(2)\;$transformaciones a los sistemas$\;\alpha,\beta\;$(partículas) respectivamente $$\begin{align} ^{\bf 2}U_{\bf \alpha} & = \MM{\hphantom{\boldsymbol{-}}g_{\bf \alpha}}{h_{\bf \alpha}}{\vphantom{h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta}}\boldsymbol{-}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}}{g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}}_{\bf a} \,,\quad g_{\bf \alpha}g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}\boldsymbol{+}h_{\bf \alpha}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}=1 \tag{ed-02a}\label{eqed-02a}\\ ^{\bf 2}U_{\bf \beta} & = \MM{\hphantom{\boldsymbol{-}}g_{\bf \beta}}{h_{\bf \beta}}{\boldsymbol{-}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta}}{g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta}}_{\bf b} \,,\quad g_{\bf \beta}g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta}\boldsymbol{+}h_{\bf \beta}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta}=1 \tag{ed-02b}\label{eqed-02b} \end{align}$$ En el sistema compuesto es un$\;SU(4)\;$transformación, el producto de los dos anteriores

$$\begin{equation} ^{\bf 4}U_{ f} = \left(^{\bf 2}U_{\bf \alpha}\right)\boldsymbol{\otimes}\left(^{\bf 2}U_{\bf \beta}\right) = \MM{\hphantom{\boldsymbol{-}}g_{\bf \alpha}}{h_{\bf \alpha}}{\vphantom{h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta}}\boldsymbol{-}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}}{g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}}_{\bf a}\!\!\! \boldsymbol{\otimes} \MM{\hphantom{\boldsymbol{-}}g_{\bf \beta}}{h_{\bf \beta}}{\boldsymbol{-}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta}}{g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta}}_{\bf b}\!\!\! = \begin{bmatrix} \hphantom{\boldsymbol{-}}g_{\bf \alpha}g_{\bf \beta} & \hphantom{\boldsymbol{-}}g_{\bf \alpha}h_{\bf \beta} & \hphantom{\boldsymbol{-}}h_{\bf \alpha}g_{\bf \beta} & h_{\bf \alpha}h_{\bf \beta} \\ \boldsymbol{-}g_{\bf \alpha}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta} & \hphantom{\boldsymbol{-}}g_{\bf \alpha}g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta} & \boldsymbol{-}h_{\bf \alpha}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta} & h_{\bf \alpha}g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta} \\ \boldsymbol{-}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}g_{\bf \beta} & \boldsymbol{-}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}h_{\bf \beta} & \hphantom{\boldsymbol{-}}g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}g_{\bf \beta} & g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}h_{\bf \beta} \\ \hphantom{\boldsymbol{-}}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta} & \boldsymbol{-}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta} & \boldsymbol{-}g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta} & g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta} \end{bmatrix}_{\bf e} \tag{ed-03}\label{eqed-03} \end{equation}$$

Pero el$\;SU(2)\;$transformaciones en$\eqref{eqed-02a}$,$\eqref{eqed-02b}$representar rotaciones en el espacio real$\;\mathbb{R}^{3}\;$en el que viven ambas partículas, por lo que deben ser idénticas (no rotaríamos un sistema de forma diferente al otro)

$$\begin{equation} ^{\bf 2}U_{\bf \alpha} =\,^{\bf 2}U_{\bf \beta}=\, ^{\bf 2}U = \MM{\:\:g}{h}{\boldsymbol{-}h^{\boldsymbol{*}}}{\:\:g^{\boldsymbol{*}}} \,,\quad gg^{\boldsymbol{*}}\boldsymbol{+}hh^{\boldsymbol{*}}=1 \tag{ed-04}\label{eqed-04} \end{equation}$$ de modo que $\eqref{eqed-03}$rendimientos $$\begin{equation} ^{\bf 4}U_{ f} = \left(^{\bf 2}U_{\bf \alpha}\right)\boldsymbol{\otimes}\left(^{\bf 2}U_{\bf \beta}\right) =\left(^{\bf 2}U\right)^{\boldsymbol{\otimes}2} = \begin{bmatrix} \:g^{2} & \:\:gh & \:hg & \!\!\!h^{2} \\ \boldsymbol{-}gh^{\boldsymbol{*}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}gg^{\boldsymbol{*}} & \boldsymbol{-}hh^{\boldsymbol{*}} & hg^{\boldsymbol{*}}\\ \boldsymbol{-}h^{\boldsymbol{*}}g & \,\boldsymbol{-}h^{\boldsymbol{*}}h & \hphantom{\boldsymbol{-}}g^{\boldsymbol{*}}g & g^{\boldsymbol{*}}h \\ \hphantom{\boldsymbol{-}}h^{\boldsymbol{*}2} & \:\:\boldsymbol{-}h^{\boldsymbol{*}}g^{\boldsymbol{*}} & \:\:\boldsymbol{-}g^{\boldsymbol{*}}h^{\boldsymbol{*}} & g^{\boldsymbol{*}2} \end{bmatrix}_{\bf e} \tag{ed-05}\label{eqed-05} \end{equation}$$

Esta matriz expresada en base a la suma directa irreducible$\eqref{eqed-01}$es

$$\begin{equation} ^{\bf 4}\OSS{U}_{ f}= \begin{bmatrix} \begin{array}{c|ccc} \:\: 1 \:\: &\rule [0ex]{20pt}{0.0ex}&\rule [-2.5ex]{0pt}{6.0ex} \rule [0ex]{16pt}{0ex}& \rule [0ex]{16pt}{0ex}\\ \hline \rule [-3ex]{0pt}{6ex}&g^{2}& \sqrt{2} g h & h^{2} \\ \rule [-3ex]{0pt}{6ex}& -\sqrt{2} g h^{\boldsymbol{*}} & \left(g g^{\boldsymbol{*}}-h h^{\boldsymbol{*}}\right) & \sqrt{2} g^{\boldsymbol{*}} h \\ \rule [-3ex]{0pt}{6ex}& \left(h^{\boldsymbol{*}}\right)^{2} & - \sqrt{2}g^{\boldsymbol{*}} h^{\boldsymbol{*}} & \left(g^{\boldsymbol{*}}\right)^{2} \end{array} \end{bmatrix}_{\:\mathbf{f}} = \begin{bmatrix} \begin{array}{c|ccc} ^{\mathbf{1}}U_{\boldsymbol{\left[1\right]}}&\rule [0ex]{20pt}{0.0ex}&\rule [-2.5ex]{0pt}{6.0ex} \rule [0ex]{16pt}{0ex}& \rule [0ex]{16pt}{0ex}\\ \hline \rule [-3ex]{0pt}{6ex}&\rule [0.0ex]{50pt}{0.0ex}& \rule [0.0ex]{50pt}{0.0ex} &\rule [0.0ex]{50pt}{0.0ex}\\ \rule [-3ex]{0pt}{6ex}& & ^{\mathbf{3}}U_{\boldsymbol{\left[2\right]}} & \\ \rule [-3ex]{0pt}{6ex}& & & \end{array} \end{bmatrix}_{\:\mathbf{f}} \tag{ed-06}\label{eqed-06} \end{equation}$$ dónde$\:^{\mathbf{1}}U_{\boldsymbol{\left[1\right]}}\:$y$\:^{\mathbf{3}}U_{\boldsymbol{\left[2\right]}}\:$son matrices unitarias especiales en los espacios del singulete y del triplete respectivamente dadas por $$\begin{equation} ^{\mathbf{1}}U_{\boldsymbol{\left[1\right]}}= \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \quad \in SU(1)\equiv \{1\} \tag{ed-07}\label{eqed-07} \end{equation}$$

$$\begin{equation} ^{\mathbf{3}}U_{\boldsymbol{\left[2\right]}}= \begin{bmatrix} g^{2}& \sqrt{2} g h & h^{2} \rule [-3ex]{0pt}{6ex}\\ -\sqrt{2} g h^{\boldsymbol{*}} & \left(g g^{\boldsymbol{*}}-h h^{\boldsymbol{*}}\right) & \sqrt{2} g^{\boldsymbol{*}} h \rule [-3ex]{0pt}{6ex}\\ \left(h^{\boldsymbol{*}}\right)^{2} & - \sqrt{2}g^{\boldsymbol{*}} h^{\boldsymbol{*}} & \left(g^{\boldsymbol{*}}\right)^{2} \rule [-3ex]{0pt}{6ex} \end{bmatrix} \quad \in SU(3) \tag{ed-08}\label{eqed-08} \end{equation}$$ Entonces, si aplicamos el$\;SU(2)\;$transformación$\:^{\bf 2}U\:$de $\eqref{eqed-04}$en ambos espacios en el producto de la izquierda de $\eqref{eqed-01}$entonces los espacios de los términos de la suma directa del lado derecho de la misma ecuación permanecen invariantes, el singlete $\eqref{eq02.1}$invariante bajo$\;SU(1)\;$(más exactamente sin cambios) y el triplete $\eqref{eq02.2}$transformado bajo$\;SU(3)\;$permaneciendo en su espacio invariante.

Decimos que el grupo de simetría es$\;SU(2)$, NO$\;SU(1)\;$o$\;SU(3)\;$de los multipletes resultantes.

Enlace de referencia: Espín total de dos partículas de espín-1/2 .

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$\color{blue}{\textbf{Example B :}}$El modelo de quarks de bariones que consta de tres quarks. Entonces, supongamos que conocemos la existencia de solo tres quarks:$\boldsymbol{u}$,$\boldsymbol{d}$y$\boldsymbol{s}$. Bajo simetría completa (la misma masa) estos son los estados básicos, sea

$$\begin{equation} \boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \qquad \boldsymbol{d}= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} \qquad \boldsymbol{s}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \tag{ed-09}\label{eqed-09} \end{equation}$$ de un espacio de Hilbert complejo tridimensional de quarks, digamos$\mathbf{Q}\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{3}}$. un quark$\boldsymbol{\xi} \in \mathbf{Q}$se expresa en términos de estos estados básicos como $$\begin{equation} \boldsymbol{\xi}=\xi_1\boldsymbol{u}+\xi_2\boldsymbol{d}+\xi_3\boldsymbol{s}= \begin{bmatrix} \xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3 \end{bmatrix} \qquad \xi_1,\xi_2,\xi_3 \in \mathbb{C} \tag{ed-10}\label{eqed-10} \end{equation}$$ Tomemos 2 quarks más para construir bariones a partir de 3 quarks $$\begin{equation} \boldsymbol{\eta}=\eta_1\boldsymbol{u}+\eta_2\boldsymbol{d}+\eta_3\boldsymbol{s}= \begin{bmatrix} \eta_1\\ \eta_2\\ \eta_3 \end{bmatrix} \:, \qquad \boldsymbol{\zeta}=\zeta_1\boldsymbol{u}+\zeta_2\boldsymbol{d}+\zeta_3\boldsymbol{s}= \begin{bmatrix} \zeta_1\\ \zeta_2\\ \zeta_3 \end{bmatrix} \tag{ed-11}\label{eqed-11} \end{equation}$$ Un estado bariónico$\:T\:$en el espacio del producto $$\begin{equation} \mathbf{B}=\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}=\mathbf{Q}\boldsymbol{\otimes}\mathbf{Q}\boldsymbol{\otimes}\mathbf{Q}\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{C}^{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{C}^{\boldsymbol{3}}=\mathbb{C}^{\boldsymbol{27}} \tag{ed-12}\label{eqed-12} \end{equation}$$ es el producto de los estados de los 3 quarks anteriores $$\begin{equation} T=\boldsymbol{\xi}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{\eta}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{\zeta} \tag{ed-13}\label{eqed-13} \end{equation}$$ El resultado final de un análisis completo es $$\begin{equation} \boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}= \boldsymbol{1}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{10}\boldsymbol{\oplus} \boldsymbol{8}^{\boldsymbol{\prime}}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{8} \tag{ed-14}\label{eqed-14} \end{equation}$$ ese es el espacio de estados de un barión es la suma directa de un singlete$\;\boldsymbol{1}$, un decuplet$\;\boldsymbol{10}$, un octeto simétrico mixto$\;\boldsymbol{8'}$y un octeto mixto antisimétrico$\;\boldsymbol{8}$.

Ahora aplicando un$\;SU(3)\;$transformación$\;^{\bf 3}U\;$en el espacio tridimensional$\mathbf{Q}\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{3}}$resulta en un$\;SU(27)\;$transformación$\;^{\bf 27}U\;$en el espacio de 27 dimensiones$\;\mathbf{B}\;$de ecuación$\eqref{eqed-12}$

$$\begin{equation} ^{\bf 27}U = \left(^{\bf 3}U\right)\boldsymbol{\otimes}\left(^{\bf 3}U\right)\boldsymbol{\otimes}\left(^{\bf 3}U\right) =\left(^{\bf 3}U\right)^{\boldsymbol{\otimes}3} \tag{ed-15}\label{eqed-15} \end{equation}$$ El espacio de cada$\;m-$plet permanece invariable y un estado en este$\;m-$plet se transforma bajo un$\;SU(m)\;$transformación, donde$\;m=1,10,8,8$. Pero

Decimos que el grupo de simetría es$\;SU(3)$, NO$\;SU(1)\;$o$\;SU(10)\;$o$\;SU(8)\;$de los multipletes resultantes.

Enlace de referencia: Simetría en términos de matrices .

Según la insistencia de @rob, aquí está la respuesta concisa:

Isospin SU(2) tiene una representación de doblete, (u,d); una representación de triplete, los 3 πs; una representación de isocuarteto, los 4 Δs; y así sucesivamente... Ya sabes esto por el momento angular, ya que, SU(2) ~ SO(3) es también el grupo de rotaciones/momento angular, excepto aquí en el isoespacio, un espacio nocional abstracto: Los dobletes de espín, espín 1/2, corresponde aquí a isodobletes, u,d quarks. Los tripletes de espín, espín 1, como los 3 vectores, corresponden a los isotripletes, los piones. Los cuartetos de espín, espín 3/2, corresponden a los cuatro bariones Δ, etc... Todos los irreps SU(2) son reales (en un sentido ligeramente técnico... incluso los espinores).

Ahora, a diferencia de SU(2), el sabor SU(3) tiene una representación verdaderamente compleja , un triple (u,d,s); una representación octeto real; un complejo decuplet, etc...

Ahora considera un triplete real de piones, por lo tanto, un 3-vector real. Sabes que este vector se transforma bajo SO(3) ~ SU(2), al igual que las rotaciones de vectores reales, por lo que el grupo es el isospín SU(2) como se indica.

Sin embargo, si fuera un espinor , en lugar de un triplete complejo, tendría que transformarse bajo un SU(3): no podría restringir el número de transformaciones independientes de sus componentes a SO(3), y estaría atascado con SU(3), ocho direcciones de transformación independientes.

Esto es lo que dicta SU(3) para un triplete complejo de quarks, (u,d,s); aunque, históricamente, la lógica fue al revés: ¡el triplete complejo fue sugerido por la representación fundamental del sabor SU(3), inferido por el octeto mesónico real!

• En caso de que te hayas quedado perplejo por el complejo$\pi^{\pm}\equiv (\pi^1\pm i\pi^2)/\sqrt{2}$, esto es solo la reescritura del vector esférico de los componentes cartesianos$\pi^1,\pi^2$, por lo que el grupo teóricamente el pión sigue siendo un triplete real.

$\newcommand{\BK}[3]{\left|{#1},{#2}\right\rangle_{#3}} \newcommand{\BKB}[3]{\mathbf{\left|{#1},{#2}\right\rangle_{\boldsymbol{#3}}}} \newcommand{\FR}[2]{{\textstyle \frac{#1}{#2}}} \newcommand{\BoldExp}[2]{{#1}^{\boldsymbol{#2}}} \newcommand{\CMRR}[2] { \begin{bmatrix} #1 \\ #2 \end{bmatrix} } \newcommand{\MM}[4] { \begin{bmatrix} #1 & #2\\ #3 & #4 \end{bmatrix} } \newcommand{\MMM}[9] { \begin{bmatrix} #1 & #2 & #3 \\ #4 & #5 & #6 \\ #7 & #8 & #9 \\ \end{bmatrix} } \newcommand{\CMRRRR}[4] { \begin{bmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{bmatrix} } \newcommand{\CMRRR}[3] { \begin{bmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{bmatrix} } \newcommand{\RMCC}[2] { \begin{bmatrix} #1 & #2 \end{bmatrix} } \newcommand{\RMCCC}[3] { \begin{bmatrix} #1 & #2 & #3 \end{bmatrix} } \newcommand{\RMCCCC}[4] { \begin{bmatrix} #1 & #2 & #3 & #4 \end{bmatrix} } \newcommand{\OSS}[1] {\overset{\boldsymbol{\sim}}{#1}} \newcommand{\BoldSub}[2]{{#1}_{\boldsymbol{#2}}} \newcommand{\OSB}[1] {\overset{\boldsymbol{-\!\!\!-}}{#1}}$

$\color{blue}{\textbf{Example C :}}$El modelo de quarks de mesones que consta de dos quarks (relevante para la pregunta). Entonces, supongamos que conocemos la existencia de dos quarks solamente:$\boldsymbol{u}$y$\boldsymbol{d}$. Bajo simetría completa, estos son los estados básicos, sea

$$\begin{equation} \boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} \:1\:\vphantom{\dfrac12}\\ \:0\:\vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \qquad \boldsymbol{d}= \begin{bmatrix} \:0\:\vphantom{\dfrac12}\\ \:1\:\vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \tag{ed-16}\label{eqed-16} \end{equation}$$ de un espacio de Hilbert complejo bidimensional de quarks, digamos $\boldsymbol{\lbrace}\boldsymbol{u},\boldsymbol{d}\boldsymbol{\rbrace}=\mathbf{Q}\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{2}}$. un quark $\boldsymbol{\xi} \in \mathbf{Q}$se expresa en términos de estos estados básicos como $$\begin{equation} \boldsymbol{\xi}=\xi_u\boldsymbol{u}+\xi_d\boldsymbol{d}= \begin{bmatrix} \:\xi_u\:\vphantom{\dfrac12}\\ \:\xi_d\:\vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \qquad \xi_u,\xi_d \in \mathbb{C} \tag{ed-17}\label{eqed-17} \end{equation}$$ por un quark $\boldsymbol{\zeta} \in \mathbf{Q}$ $$\begin{equation} \boldsymbol{\zeta}=\zeta_u\boldsymbol{u}+\zeta_d\boldsymbol{d}= \begin{bmatrix} \:\zeta_u\:\vphantom{\dfrac12}\\ \:\zeta_d\:\vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \tag{ed-18}\label{eqed-18} \end{equation}$$ el respectivo antiquark $\overline{\boldsymbol{\zeta}}$se expresa por los complejos conjugados de las coordenadas $$\begin{equation} \overline{\boldsymbol{\zeta}}=\overline{\zeta}_u \OSB{\boldsymbol{u}}+\overline{\zeta}_d\overline{\boldsymbol{d}}= \begin{bmatrix} \:\overline{\zeta}_u\:\vphantom{\dfrac12}\\ \:\overline{\zeta}_d\:\vphantom{\dfrac12}\\ \end{bmatrix} \tag{ed-19}\label{eqed-19} \end{equation}$$ con respecto a los estados básicos
$$\begin{equation} \OSB{\boldsymbol{u}}= \begin{bmatrix} \:1\:\vphantom{\dfrac12}\\ \:0\:\vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \qquad \overline{\boldsymbol{d}}= \begin{bmatrix} \:0\:\vphantom{\dfrac12}\\ \:1\:\vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \tag{ed-20}\label{eqed-20} \end{equation}$$ los antiquarks de $\boldsymbol{u},\boldsymbol{d}$respectivamente. Los antiquarks pertenecen a un espacio diferente, el espacio de los antiquarks $\boldsymbol{\lbrace}\OSB{\boldsymbol{u}},\overline{\boldsymbol{d}}\boldsymbol{\rbrace}=\overline{\mathbf{Q}}\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{2}}$.

Dado que los mesones aquí son pares quark-antiquark, pertenecen al espacio del producto

$$\begin{equation} \mathbf{M}=\mathbf{Q}\boldsymbol{\otimes}\overline{\mathbf{Q}}\: \left(\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{4}}\right) \tag{ed-21}\label{eqed-21} \end{equation}$$ Usando las expresiones $\eqref{eqed-17}$y $\eqref{eqed-19}$del quark $\boldsymbol{\xi} \in \mathbf{Q}$y el antiquark $\overline{\boldsymbol{\zeta}} \in \overline{\mathbf{Q}}$respectivamente tenemos para el estado mesón producto $\mathrm{X} \in \mathbf{M}$

$$\begin{equation} \mathrm{X}=\boldsymbol{\xi}\boldsymbol{\otimes}\overline{\boldsymbol{\zeta}}=\xi_u\overline{\eta}_u \left(\boldsymbol{u}\boldsymbol{\otimes}\OSB{\boldsymbol{u}}\right)+\xi_u\overline{\zeta}_d \left( \boldsymbol{u}\boldsymbol{\otimes}\overline{\boldsymbol{d}}\right)+\xi_d\overline{\zeta}_u\left( \boldsymbol{d}\boldsymbol{\otimes}\OSB{\boldsymbol{u}}\right)+\xi_d\overline{\zeta}_d\left( \boldsymbol{d}\boldsymbol{\otimes}\overline{\boldsymbol{d}}\right) \nonumber \tag{ed-22}\label{eqed-22} \end{equation}$$ Para simplificar las expresiones, el símbolo del producto $"\boldsymbol{\otimes}"$se omite y así $$\begin{equation} \mathrm{X}=\boldsymbol{\xi}\overline{\boldsymbol{\zeta}}=\xi_u\overline{\zeta}_u \boldsymbol{u}\OSB{\boldsymbol{u}}+\xi_u\overline{\zeta}_d \boldsymbol{u}\overline{\boldsymbol{d}}+\xi_d\overline{\zeta}_u \boldsymbol{d}\OSB{\boldsymbol{u}}+\xi_d\overline{\zeta}_d \boldsymbol{d}\overline{\boldsymbol{d}} \tag{ed-23}\label{eqed-23} \end{equation}$$ o en forma de matriz de una columna $$\begin{equation} \mathrm{X}= \begin{bmatrix} \begin{array}{rrrr} \xi_u\overline{\zeta}_u\vphantom{\dfrac12}\\ \xi_u\overline{\zeta}_d\vphantom{\dfrac12}\\ \xi_d\overline{\zeta}_u\vphantom{\dfrac12}\\ \xi_d\overline{\zeta}_d\vphantom{\dfrac12} \end{array} \end{bmatrix}_{\mathbf{e}} \tag{ed-24}\label{eqed-24} \end{equation}$$ Esta representación es con respecto a la base
$$\begin{equation} \boldsymbol{e_1}=\boldsymbol{u}\OSB{\boldsymbol{u}}= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\,, \quad \boldsymbol{e_2}=\boldsymbol{u}\overline{\boldsymbol{d}}= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\,, \quad \boldsymbol{e_3}=\boldsymbol{d}\OSB{\boldsymbol{u}}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}\,, \quad \boldsymbol{e_4}=\boldsymbol{d}\overline{\boldsymbol{d}}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \tag{ed-25}\label{eqed-25} \end{equation}$$ El resultado final de un análisis completo es $$\begin{equation} \boldsymbol{2}\boldsymbol{\otimes} \OSB{\boldsymbol{2}} \boldsymbol{=}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{3} \tag{ed-26}\label{eqed-26} \end{equation}$$ ese es el espacio de estados de un mesón es la suma directa de un singlete $\;\boldsymbol{1}\equiv\boldsymbol{\lbrace}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\rbrace}$y un triplete $\;\boldsymbol{3}\equiv\boldsymbol{\lbrace}\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{-},\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{0},\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{+}\boldsymbol{\rbrace}$.

Ahora bien, si aplicamos un$\;SU(2)\;$transformación en el espacio$\;\boldsymbol{2}=\boldsymbol{\lbrace}\boldsymbol{u},\boldsymbol{d}\boldsymbol{\rbrace}=\mathbf{Q}$representada con respecto a la base$\eqref{eqed-16}$de este espacio por la matriz

$$\begin{equation} ^{\boldsymbol{2}}U \equiv \begin{bmatrix} \:\:\:g\hphantom{\boldsymbol{-}}\vphantom{\dfrac12} & h \vphantom{\dfrac12}\:\:\:\\ \!\!\!\!\!\boldsymbol{-}\overline{h} & \OSB{g}\vphantom{\dfrac12}\:\: \end{bmatrix}_{\mathbf{ud}}\;, \qquad g\OSB{g}+h\overline{h}=\vert g \vert ^{2} + \vert h \vert ^{2} = 1 \tag{ed-27}\label{eqed-27} \end{equation}$$ entonces debemos aplicar en el espacio $\OSB{\boldsymbol{2}}=\boldsymbol{\lbrace}\OSB{\boldsymbol{u}},\overline{\boldsymbol{d}}\boldsymbol{\rbrace}=\overline{\mathbf{Q}}\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{2}}$su complejo conjugado representado con respecto a la base $\eqref{eqed-20}$de este espacio por la matriz $$\begin{equation} ^{\boldsymbol{2}}\OSB{U} \equiv \begin{bmatrix} \:\:\:\OSB{g}\hphantom{\boldsymbol{-}}\vphantom{\dfrac12} & \overline{h} \vphantom{\dfrac12}\:\:\:\\ \!\!\!\!\!\boldsymbol{-}h & g\vphantom{\dfrac12}\:\: \end{bmatrix}_{\mathbf{\OSB{\boldsymbol{u}}\overline{\boldsymbol{d}}}} \tag{ed-28}\label{eqed-28} \end{equation}$$
En el sistema compuesto $\;\boldsymbol{2}\boldsymbol{\otimes} \OSB{\boldsymbol{2}}=\mathbf{Q}\boldsymbol{\otimes}\overline{\mathbf{Q}}\;$esto es un $\;SU(4)\;$transformación, el producto de estas transformaciones anteriores, representado con respecto a la base $\eqref{eqed-25}$de este espacio por la matriz $$\begin{equation} ^{\boldsymbol{4}}U=\left(^{\boldsymbol{2}}U\vphantom{^{\boldsymbol{2}}\OSB{U}}\right)\boldsymbol{\otimes}\left(^{\boldsymbol{2}}\OSB{U}\right) = \begin{bmatrix} \:\:\:g\hphantom{\boldsymbol{-}}\vphantom{\dfrac12} & h \vphantom{\dfrac12}\:\:\:\\ \!\!\!\!\!\boldsymbol{-}\overline{h} & \OSB{g}\vphantom{\dfrac12}\:\: \end{bmatrix} \boldsymbol{\otimes} \begin{bmatrix} \:\:\:\OSB{g}\hphantom{\boldsymbol{-}}\vphantom{\dfrac12} & \overline{h} \vphantom{\dfrac12}\:\:\:\\ \!\!\!\!\!\boldsymbol{-}h & g\vphantom{\dfrac12}\:\: \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \:g\OSB{g} & \:\:g\overline{h} & \:h\OSB{g} & \!\!\!h\overline{h} \\ \boldsymbol{-}gh & \hphantom{\boldsymbol{-}}g^{2} & \boldsymbol{-}h^{2} & hg\\ \boldsymbol{-}\overline{h}\OSB{g} & \,\boldsymbol{-}\overline{h}^{2} & \hphantom{\boldsymbol{-}}\OSB{g}^{2} & \OSB{g}\overline{h} \\ \hphantom{\boldsymbol{-}}\overline{h}h & \:\:\boldsymbol{-}\overline{h}g & \:-\OSB{g}h & \:\OSB{g}g \end{bmatrix}_{\bf e} \tag{ed-29}\label{eqed-29} \end{equation}$$ Cambiamos de la base anterior $\;\boldsymbol{\lbrace e_k\rbrace}$, ver ecuación $\eqref{eqed-25}$, a este nuevo

$$\begin{align} \OSS{\boldsymbol{e}}_{\bf 1} & =\sqrt{\tfrac{1}{2}}\left(\boldsymbol{e_1}+\boldsymbol{e_4} \right) = \sqrt{\tfrac{1}{2}}\left(\boldsymbol{u}\OSB{\boldsymbol{u}}+\boldsymbol{d}\overline{\boldsymbol{d}} \right)=\boldsymbol{\omega} \tag{ed-30.1}\label{eqed-30.1}\\ \OSS{\boldsymbol{e}}_{\bf 2} & =\boldsymbol{e_2} =\boldsymbol{u}\overline{\boldsymbol{d}} =\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{+} \tag{ed-30.2}\label{eqed-30.2}\\ \OSS{\boldsymbol{e}}_{\bf 3} & =\sqrt{\tfrac{1}{2}}\left(\boldsymbol{e_1}-\boldsymbol{e_4} \right)=\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{0} \tag{ed-30.3}\label{eqed-30.3}\\ \OSS{\boldsymbol{e}}_{\bf 4} & =\boldsymbol{e_3} =\boldsymbol{d}\OSB{\boldsymbol{u}} =\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{-} \tag{ed-30.4}\label{eqed-30.4} \end{align}$$ Formalmente $$\begin{equation} \begin{bmatrix} \OSS{\boldsymbol{e}}_{\bf 1}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \OSS{\boldsymbol{e}}_{\bf 2}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \\ \OSS{\boldsymbol{e}}_{\bf 3}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \\ \OSS{\boldsymbol{e}}_{\bf 4}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 &\hphantom{\boldsymbol{-}} 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}\sqrt{\tfrac{1}{2}}\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}} 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & -\sqrt{\tfrac{1}{2}}\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{e_1}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \boldsymbol{e_2}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \boldsymbol{e_3}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \boldsymbol{e_4}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \end{bmatrix} =\mathrm{K} \begin{bmatrix} \boldsymbol{e_1}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \boldsymbol{e_2}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \boldsymbol{e_3}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \boldsymbol{e_4}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \end{bmatrix} \tag{ed-31}\label{eqed-31} \end{equation}$$ dónde $\;\mathrm{K}\;$la siguiente $\;4\times 4\;$matriz ortogonal real $$\begin{equation} \mathrm{K} = \begin{bmatrix} \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 &\hphantom{\boldsymbol{-}} 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}\sqrt{\tfrac{1}{2}}\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}} 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \boldsymbol{-}\sqrt{\tfrac{1}{2}}\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \end{bmatrix} \tag{ed-32}\label{eqed-32} \end{equation}$$ con propiedad $$\begin{equation} \mathrm{K}^{\boldsymbol{-1}} = \begin{bmatrix} \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 &\hphantom{\boldsymbol{-}} \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}} 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \sqrt{\tfrac{1}{2}}& \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \boldsymbol{-}\sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 \end{bmatrix} =\mathrm{K}^{\boldsymbol{\top}} \tag{ed-33}\label{eqed-33} \end{equation}$$ La matriz $\;^{\boldsymbol{4}}U$, ver ecuación $\eqref{eqed-29}$, en representación de la $\;SU(4)\;$transformación con respecto a la base $\;\boldsymbol{\lbrace \boldsymbol{e}_k\rbrace}$tiene con respecto a la nueva base $\;\boldsymbol{\lbrace \OSS{\boldsymbol{e}}_k\rbrace}$, ver ecuaciones $\eqref{eqed-30.1}$- $\eqref{eqed-30.4}$, el siguiente formulario $$\begin{align} & ^{\boldsymbol{4}}\OSS{U}=\mathrm{K}\left(^{\boldsymbol{4}}U\right)\mathrm{K}^{\boldsymbol{-1}} \nonumber\\ & = \begin{bmatrix} \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 &\hphantom{\boldsymbol{-}} 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}\sqrt{\tfrac{1}{2}}\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}} 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \boldsymbol{-}\sqrt{\tfrac{1}{2}}\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \:g\OSB{g} & \:\:g\overline{h} & \:h\OSB{g} & \!\!\!h\overline{h}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \\ \boldsymbol{-}gh & \hphantom{\boldsymbol{-}}g^{2} & \boldsymbol{-}h^{2} & hg\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \boldsymbol{-}\overline{h}\OSB{g} & \,\boldsymbol{-}\overline{h}^{2} & \hphantom{\boldsymbol{-}}\OSB{g}^{2} & \OSB{g}\overline{h}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \\ \hphantom{\boldsymbol{-}}\overline{h}h & \:\:\boldsymbol{-}\overline{h}g & \:-\OSB{g}h & \:\OSB{g}g\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 &\hphantom{\boldsymbol{-}} \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}} 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \sqrt{\tfrac{1}{2}}& \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \boldsymbol{-}\sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 \end{bmatrix} \nonumber\\ & = \begin{bmatrix} \sqrt{\tfrac{1}{2}} & 0 & 0 & \sqrt{\tfrac{1}{2}} \\ \boldsymbol{-}gh & \hphantom{\boldsymbol{-}}g^{2} & \boldsymbol{-}h^{2} & hg\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \sqrt{\tfrac{1}{2}}\left(g\OSB{g}\boldsymbol{-}\overline{h}h\right) & \sqrt{2}g\overline{h} & \sqrt{2}\OSB{g}h & \sqrt{\tfrac{1}{2}}\left(\overline{h}h\boldsymbol{-}g\OSB{g}\right) \\ \boldsymbol{-}\overline{h}\OSB{g} & \,\boldsymbol{-}\overline{h}^{2} & \hphantom{\boldsymbol{-}}\OSB{g}^{2} & \OSB{g}\overline{h}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 &\hphantom{\boldsymbol{-}} \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}} 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \sqrt{\tfrac{1}{2}}& \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \boldsymbol{-}\sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 \end{bmatrix} \nonumber\\ & = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ 0 & g^{2} & \boldsymbol{-}\sqrt{2}gh &\boldsymbol{-}h^{2}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ 0 & \sqrt{2}g\overline{h} & \left(g\OSB{g}\boldsymbol{-}h\overline{h}\right) & \sqrt{2}\OSB{g}h \\ 0 & \,\boldsymbol{-}\overline{h}^{2} & \boldsymbol{-}\sqrt{2}\OSB{g}\overline{h} & \OSB{g}^{2} \vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \end{bmatrix}_{\OSS{\boldsymbol{e}}} \tag{ed-34}\label{eqed-34} \end{align}$$ entonces $$\begin{equation} ^{\bf 4}\OSS{U}= \begin{bmatrix} \begin{array}{c|ccc} \:\: 1 \:\: &\rule [0ex]{20pt}{0.0ex}&\rule [-2.5ex]{0pt}{6.0ex} \rule [0ex]{16pt}{0ex}& \rule [0ex]{16pt}{0ex}\\ \hline \rule [-3ex]{0pt}{6ex}&g^{2} & \boldsymbol{-}\sqrt{2}gh &\boldsymbol{-}h^{2} \\ \rule [-3ex]{0pt}{6ex}& \sqrt{2}g\overline{h} & \left(g\OSB{g}\boldsymbol{-}h\overline{h}\right) & \sqrt{2}\OSB{g}h \\ \rule [-3ex]{0pt}{6ex}& \boldsymbol{-}\overline{h}^{2} & \boldsymbol{-}\sqrt{2}\OSB{g}\overline{h} & \OSB{g}^{2} \end{array} \end{bmatrix}_{\OSS{\boldsymbol{e}}} = \begin{bmatrix} \begin{array}{c|ccc} ^{\mathbf{1}}U_{\boldsymbol{\left[1\right]}}&\rule [0ex]{20pt}{0.0ex}&\rule [-2.5ex]{0pt}{6.0ex} \rule [0ex]{16pt}{0ex}& \rule [0ex]{16pt}{0ex}\\ \hline \rule [-3ex]{0pt}{6ex}&\rule [0.0ex]{50pt}{0.0ex}& \rule [0.0ex]{50pt}{0.0ex} &\rule [0.0ex]{50pt}{0.0ex}\\ \rule [-3ex]{0pt}{6ex}& & ^{\mathbf{3}}U_{\boldsymbol{\left[2\right]}} & \\ \rule [-3ex]{0pt}{6ex}& & & \end{array} \end{bmatrix}_{\OSS{\boldsymbol{e}}} \tag{ed-35}\label{eqed-35} \end{equation}$$ dónde $\:^{\mathbf{1}}U_{\boldsymbol{\left[1\right]}}\:$y $\:^{\mathbf{3}}U_{\boldsymbol{\left[2\right]}}\:$son matrices unitarias especiales en los espacios del singlete $\;\boldsymbol{1}\equiv\boldsymbol{\lbrace}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\rbrace}$y del triplete $\;\boldsymbol{3}\equiv\boldsymbol{\lbrace}\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{-},\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{0},\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{+}\boldsymbol{\rbrace}$respectivamente dado por $$\begin{equation} ^{\mathbf{1}}U_{\boldsymbol{\left[1\right]}}= \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \quad \in SU(1)\equiv \{1\} \tag{ed-36}\label{eqed-36} \end{equation}$$

$$\begin{equation} ^{\mathbf{3}}U_{\boldsymbol{\left[2\right]}}= \begin{bmatrix} g^{2} & \boldsymbol{-}\sqrt{2}gh &\boldsymbol{-}h^{2}\vphantom{\sqrt{\dfrac{1}{2}}}\\ \sqrt{2}g\overline{h} & \left(g\OSB{g}\boldsymbol{-}h\overline{h}\right) & \sqrt{2}\OSB{g}h\vphantom{\sqrt{\dfrac{1}{2}}} \\ \boldsymbol{-}\overline{h}^{2} & \boldsymbol{-}\sqrt{2}\OSB{g}\overline{h} & \OSB{g}^{2} \vphantom{\sqrt{\dfrac{1}{2}}} \end{bmatrix} \quad \in SU(3) \tag{ed-37}\label{eqed-37} \end{equation}$$ resultados en todos los aspectos similares a los de $\color{blue}{\textbf{Example A }}$, ver ecuaciones (ed-06), (ed-07) y (ed-08).

De nuevo: Decimos que el grupo de simetría es$\;SU(2)$, NO$\;SU(1)\;$o$\;SU(3)\;$de los multipletes resultantes.