Δ+Δ+\Delta^+ decaimiento en proceso GZK

Question

Δ+Δ+\Delta^+ decaimiento en proceso GZK

piones
Física
astrofísica
isospin-simetría
partículas fisicas
fondo-de-microondas-cósmico

genio del jazz

Los canales dominantes en el proceso GZK son

pags + γ_{C METRO B} \to Δ^{+} \to pags + π^{0},

$p+\gamma_{\rm CMB}\to\Delta^+\to p+\pi^0,$

pags + γ_{C METRO B} \to Δ^{+} \to norte + π^{+} .

$p+\gamma_{\rm CMB}\to\Delta^+\to n+\pi^+.$

Según el pdg , $\Delta\to N+\pi$ constituye esencialmente el 100% de la relación de ramificación (BR). Sin embargo, no dice qué proceso se favorece: el protón y el pión neutro o el neutrón y el pión cargado. Mi instinto es que cada uno debe contribuir con un 50%, pero no estoy seguro. Entonces mi pregunta es, ¿cuáles son los BR para cada uno de los procesos descritos anteriormente?

robar

¡Interesante pregunta! Tenga en cuenta que los estados final-final, después de que los neutrones y los piones se hayan desintegrado, son

\begin{aligned} pags + γ_{CMB} & \to pags + 2 γ \\ pags + γ_{CMB} & \to pags + ({mi}^{-} + {\bar{v}}_{mi}) + ({mi}^{+} + v_{mi} + v_{m}), \end{aligned}

$\begin{align*}p + \gamma_\text{CMB} &\to p + 2\gamma \\ p + \gamma_\text{CMB} &\to p + (e^- + \bar\nu_e) + (e^+ + \nu_e + \nu_\mu),\end{align*}$ por lo que el canal de neutrones probablemente contribuya mucho más al ablandamiento del espectro de rayos cósmicos de protones.

genio del jazz

@rob Gracias, pero estoy más interesado en el proceso de descomposición exacto que en el ablandamiento total. Es decir, ¿con qué frecuencia ocurre qué proceso? Google-fu no ha encontrado nada, ya que todo el mundo parece hablar de nucleones y piones en lugar de sus cargas.

usuario12262

Algunos cálculos relevantes como comentario; No estoy muy seguro de la redacción adecuada para formular una respuesta completa: con coeficientes CL de isospin adecuados

pags + π^{0} \equiv | 1 / 2, 1 / 2 ⟩ | 1, 0 ⟩ = \sqrt{2 / 3} | 3 / 2, 1 / 2 ⟩ - \sqrt{1 / 3} | 1 / 2, 1 / 2 ⟩,

$p+\pi^0\equiv |1/2,1/2\rangle\,|1,0\rangle=\sqrt{2/3}~|3/2,1/2\rangle-\sqrt{1/3}~|1/2,1/2 \rangle,$ y

norte + π^{+} \equiv | 1 / 2, - 1 / 2 ⟩ | 1, 1 ⟩ = \sqrt{1 / 3} | 3 / 2, 1 / 2 ⟩ + \sqrt{2 / 3} | 1 / 2, 1 / 2 ⟩ .

$n+\pi^+ \equiv|1/2,-1/2\rangle\,|1,1\rangle=\sqrt{1/3}~|3/2,1/2\rangle+\sqrt{2/3}~|1/2,1/2\rangle.$ La relación de ramificación es por lo tanto

\frac{Δ^{+} \to pags + π^{0}}{Δ^{+} \to norte + π^{+}} \approx (\sqrt{2 / 3} / \sqrt{1 / 3})^{2} = 2.

$\frac{\Delta^+\rightarrow p+\pi^0}{\Delta^+\rightarrow n+\pi^+}\approx (\sqrt{2/3}~/\sqrt{1/3})^2=2.$

genio del jazz

@ usuario12262 Gracias. Supongo que está utilizando el hecho de que el Delta es un

| 3 / 2, 1 / 2 ⟩

$|3/2,1/2\rangle$ partícula, ¿correcto? Ha pasado mucho tiempo desde que hice Clebsch-Gordon, así que tendré que refrescarme en esto. Al ver que la proporción es

O (1)

$\mathcal O(1)$ es alentador.

usuario12262

jazzwhiz: " Supongo que está utilizando el hecho de que el Delta es un $|3/2,1/2 \rangle$ partícula " -- La

Δ^{+}

$\Delta^+$ , Correcto. (Además, no lo señalé explícitamente en mi comentario anterior ya que ya había estado usando casi todos los 600 caracteres permitidos &). " Hace mucho tiempo que no hago Clebsch-Gordon " -- Igual aquí. (

\approx

$\approx$ 20 años desde que vi por primera y última vez el problema similar de calcular

\frac{σ (p π^{+} \to p π^{+})}{σ (p π^{-} \to p π^{-})}

$\frac{ \sigma(p \pi^+ \rightarrow p \pi^+)}{\sigma(p \pi^- \rightarrow p \pi^-)}$ etc.). Así que dudo un poco en "discutir" el resto

| 1 / 2, 1 / 2 ⟩

$|1/2,1/2 \rangle$ partes ...

jwimberley

Todas las mediciones informadas parecen haberse realizado en dispersión pi N -> pi N. Dado que esto significaría la dispersión de un objetivo de materia nuclear que contiene protones y neutrones, probablemente hierro o plomo, sería difícil extraer tasas separadas de desintegración/producción. Posiblemente, esto podría extraerse de la proporción de protones a neutrones en el estado final, pero probablemente haya sutilezas en la estructura de la capa (es decir, ¿la fracción de producción de pi P es realmente = Z/A?).

genio del jazz

@jwimberley Buen punto. Teoría es pues (que es lo que yo había sospechado). No necesito algo con precisión, bastará con un decimal.

usuario12262

ps Arriba escribí por error "coeficientes CL", mientras que quise decir " coeficientes de Clebsch-Gordan; también conocidos como coeficientes CG ". Tenga en cuenta cómo se escribe el nombre de Paul Gordan , por cierto.

Respuestas (1)

Δ+Δ+\Delta^+ decaimiento en proceso GZK

¡Interesante pregunta! Tenga en cuenta que los estados final-final, después de que los neutrones y los piones se hayan desintegrado, son $\begin{aligned} pags + γ_{CMB} & \to pags + 2 γ \\ pags + γ_{CMB} & \to pags + ({mi}^{-} + {\bar{v}}_{mi}) + ({mi}^{+} + v_{mi} + v_{m}), \end{aligned}$ $\begin{align*}p + \gamma_\text{CMB} &\to p + 2\gamma \\ p + \gamma_\text{CMB} &\to p + (e^- + \bar\nu_e) + (e^+ + \nu_e + \nu_\mu),\end{align*}$ por lo que el canal de neutrones probablemente contribuya mucho más al ablandamiento del espectro de rayos cósmicos de protones.
@rob Gracias, pero estoy más interesado en el proceso de descomposición exacto que en el ablandamiento total. Es decir, ¿con qué frecuencia ocurre qué proceso? Google-fu no ha encontrado nada, ya que todo el mundo parece hablar de nucleones y piones en lugar de sus cargas.
Algunos cálculos relevantes como comentario; No estoy muy seguro de la redacción adecuada para formular una respuesta completa: con coeficientes CL de isospin adecuados $pags + π^{0} \equiv | 1 / 2, 1 / 2 ⟩ | 1, 0 ⟩ = \sqrt{2 / 3} | 3 / 2, 1 / 2 ⟩ - \sqrt{1 / 3} | 1 / 2, 1 / 2 ⟩,$ $p+\pi^0\equiv |1/2,1/2\rangle\,|1,0\rangle=\sqrt{2/3}~|3/2,1/2\rangle-\sqrt{1/3}~|1/2,1/2 \rangle,$ y $norte + π^{+} \equiv | 1 / 2, - 1 / 2 ⟩ | 1, 1 ⟩ = \sqrt{1 / 3} | 3 / 2, 1 / 2 ⟩ + \sqrt{2 / 3} | 1 / 2, 1 / 2 ⟩ .$ $n+\pi^+ \equiv|1/2,-1/2\rangle\,|1,1\rangle=\sqrt{1/3}~|3/2,1/2\rangle+\sqrt{2/3}~|1/2,1/2\rangle.$ La relación de ramificación es por lo tanto $\frac{Δ^{+} \to pags + π^{0}}{Δ^{+} \to norte + π^{+}} \approx (\sqrt{2 / 3} / \sqrt{1 / 3})^{2} = 2.$ $\frac{\Delta^+\rightarrow p+\pi^0}{\Delta^+\rightarrow n+\pi^+}\approx (\sqrt{2/3}~/\sqrt{1/3})^2=2.$
@ usuario12262 Gracias. Supongo que está utilizando el hecho de que el Delta es un $|3/2,1/2\rangle$ partícula, ¿correcto? Ha pasado mucho tiempo desde que hice Clebsch-Gordon, así que tendré que refrescarme en esto. Al ver que la proporción es $\mathcal O(1)$ es alentador.
jazzwhiz: " Supongo que está utilizando el hecho de que el Delta es un $|3/2,1/2 \rangle$ partícula " -- La $\Delta^+$ , Correcto. (Además, no lo señalé explícitamente en mi comentario anterior ya que ya había estado usando casi todos los 600 caracteres permitidos &). " Hace mucho tiempo que no hago Clebsch-Gordon " -- Igual aquí. ( $\approx$ 20 años desde que vi por primera y última vez el problema similar de calcular $\frac{ \sigma(p \pi^+ \rightarrow p \pi^+)}{\sigma(p \pi^- \rightarrow p \pi^-)}$ etc.). Así que dudo un poco en "discutir" el resto $|1/2,1/2 \rangle$ partes ...
Todas las mediciones informadas parecen haberse realizado en dispersión pi N -> pi N. Dado que esto significaría la dispersión de un objetivo de materia nuclear que contiene protones y neutrones, probablemente hierro o plomo, sería difícil extraer tasas separadas de desintegración/producción. Posiblemente, esto podría extraerse de la proporción de protones a neutrones en el estado final, pero probablemente haya sutilezas en la estructura de la capa (es decir, ¿la fracción de producción de pi P es realmente = Z/A?).
@jwimberley Buen punto. Teoría es pues (que es lo que yo había sospechado). No necesito algo con precisión, bastará con un decimal.
ps Arriba escribí por error "coeficientes CL", mientras que quise decir " coeficientes de Clebsch-Gordan; también conocidos como coeficientes CG ". Tenga en cuenta cómo se escribe el nombre de Paul Gordan , por cierto.

usuario12262 · Answer 1

[...] $\Delta^+ \rightarrow p + \pi^0$ , [...] $\Delta^+ \rightarrow n + \pi^+$ ,

qué proceso se favorece: el protón y el pión neutro o el neutrón y el pión cargado [?]

Dado que la cinemática (y los factores de "espacio de fase" correspondientes) para los dos estados finales son presumiblemente tan buenos como iguales, la evaluación de la relación de ramificación

BR := \frac{Γ [Δ^{+} \to pags + π^{0}]}{Γ [Δ^{+} \to norte + π^{+}]}

$\text{BR} := \frac{\Gamma[ \Delta^+\rightarrow p+\pi^0 ]}{\Gamma[ \Delta^+\rightarrow n+\pi^+ ]}$

se simplifica a la determinación de la proporción de probabilidades de transición "constituyente del estado"

BR := \frac{Γ [Δ^{+} \to pags + π^{0}]}{Γ [Δ^{+} \to norte + π^{+}]} ≃ \frac{{| ⟨ pags; π^{0} ∣ Δ^{+} ⟩ |}^{2}}{{| ⟨ norte; π^{+} ∣ Δ^{+} ⟩ |}^{2}} .

$\text{BR} := \frac{\Gamma[ \Delta^+\rightarrow p+\pi^0 ]}{\Gamma[ \Delta^+\rightarrow n+\pi^+ ]} \simeq \frac{\left\lvert \langle p; \pi^0 \mid \Delta^+ \rangle \right\rvert^2}{\left\lvert \langle n; \pi^+ \mid \Delta^+ \rangle \right\rvert^2}.$

Analizando (o definiendo) el estado inicial $\Delta^+$ y los dos estados finales distintos en términos de isospín conducen a las expresiones

| Δ^{+} ⟩ \equiv | {(3 / 2, 1 / 2)}_{i} ⟩,

$\lvert \Delta^+ \rangle \equiv \big\lvert \left(3/2, 1/2\right)_i \big\rangle,$

donde el primer valor representa la magnitud de $\mathbf I$ , y el segundo valor representa la magnitud de $I_3$ , junto con

| pags; π^{0} ⟩ \equiv | (1 / 2, 1 / 2)_{F}; (1, 0)_{F} ⟩ \equiv \sqrt{\frac{2}{3}} | (3 / 2, 1 / 2)_{t} ⟩ - \sqrt{\frac{1}{3}} | (1 / 2, 1 / 2)_{t} ⟩,

$\lvert p; \pi^0 \rangle \equiv \big\lvert (1/2, 1/2)_f; (1, 0)_f \big\rangle \equiv \sqrt{ \frac{2}{3} }~\big\lvert (3/2, 1/2)_t \big\rangle - \sqrt{ \frac{1}{3} }~\big\lvert (1/2, 1/2)_t \big\rangle,$ y

| norte; π^{+} ⟩ \equiv | (1 / 2, - 1 / 2)_{F}; (1, 1)_{F} ⟩ \equiv \sqrt{\frac{1}{3}} | (3 / 2, 1 / 2)_{t} ⟩ + \sqrt{\frac{2}{3}} | (1 / 2, 1 / 2)_{t} ⟩,

$\lvert n; \pi^+ \rangle \equiv \big\lvert (1/2, -1/2)_f; (1, 1)_f \big\rangle \equiv \sqrt{ \frac{1}{3} }~\big\lvert (3/2, 1/2)_t \big\rangle + \sqrt{ \frac{2}{3} }~\big\lvert (1/2, 1/2)_t \big\rangle,$

dónde

los coeficientes de las combinaciones lineales en los lados derechos son coeficientes de Clebsch-Gordan (específicamente los valores enumerados en la tabla " $1/2 \otimes 1$ " ),
todos los estados están normalizados, y
los índices $f$ y $t$ son para distinguir estados finales y "representaciones de estados para evaluar probabilidades de transición"; tal que en particular los estados $(1/2, 1/2)_f$ y $(1/2, 1/2)_t$ son (destinados a ser) distintos; y ambos son distintos, y de hecho disjuntos, del estado inicial $\lvert \Delta^+ \rangle \equiv \lvert (3/2, 1/2)_i \rangle$ .

Ahora identificando

| (3 / 2, 1 / 2)_{t} ⟩ \equiv | (3 / 2, 1 / 2)_{i} ⟩

$\big\lvert (3/2, 1/2)_t \big\rangle \equiv \big\lvert (3/2, 1/2)_i \big\rangle$

podemos evaluar

\begin{aligned} ⟨ pags; π^{0} ∣ Δ^{+} ⟩ & \equiv ⟨ \sqrt{\frac{2}{3}} (3 / 2, 1 / 2)_{t} - \sqrt{\frac{1}{3}} (1 / 2, 1 / 2)_{t} | (3 / 2, 1 / 2)_{t} ⟩ \\ = ⟨ \sqrt{\frac{2}{3}} (3 / 2, 1 / 2)_{t} | (3 / 2, 1 / 2)_{t} ⟩ \\ = \sqrt{\frac{2}{3}} \end{aligned}

$\begin{align} \langle p; \pi^0 \mid \Delta^+ \rangle & \equiv \bigg\langle \sqrt{ \frac{2}{3} }~ (3/2, 1/2)_t - \sqrt{ \frac{1}{3} }~ (1/2, 1/2)_t \bigg\vert (3/2, 1/2)_t \bigg\rangle \\ & = \bigg\langle \sqrt{ \frac{2}{3} }~ (3/2, 1/2)_t \bigg\vert (3/2, 1/2)_t \bigg\rangle \\ & = \sqrt{ \frac{2}{3} } \end{align}$

y

\begin{aligned} ⟨ norte; π^{+} ∣ Δ^{+} ⟩ & \equiv ⟨ \sqrt{\frac{1}{3}} (3 / 2, 1 / 2)_{t} + \sqrt{\frac{2}{3}} (1 / 2, 1 / 2)_{t} | (3 / 2, 1 / 2)_{t} ⟩ \\ = ⟨ \sqrt{\frac{1}{3}} (3 / 2, 1 / 2)_{t} | (3 / 2, 1 / 2)_{t} ⟩ \\ = \sqrt{\frac{1}{3}} \end{aligned}

$\begin{align} \langle n; \pi^+ \mid \Delta^+ \rangle & \equiv \bigg\langle \sqrt{ \frac{1}{3} }~ (3/2, 1/2)_t + \sqrt{ \frac{2}{3} }~ (1/2, 1/2)_t \bigg\vert (3/2, 1/2)_t \bigg\rangle \\ & = \bigg\langle \sqrt{ \frac{1}{3} }~ (3/2, 1/2)_t \bigg\vert (3/2, 1/2)_t \bigg\rangle \\ & = \sqrt{ \frac{1}{3} } \end{align}$

obteniendo el valor de relación de ramificación buscado como

BR := \frac{Γ [Δ^{+} \to pags + π^{0}]}{Γ [Δ^{+} \to norte + π^{+}]} ≃ \frac{(\sqrt{2 / 3})^{2}}{(\sqrt{1 / 3})^{2}} = 2.

$\text{BR} := \frac{\Gamma[ \Delta^+\rightarrow p+\pi^0 ]}{\Gamma[ \Delta^+\rightarrow n+\pi^+ ]} \simeq \frac{ (\sqrt{ 2/3 })^2 }{ (\sqrt{ 1/3 })^2} = 2.$

La versión inicial de esta respuesta se formuló en base a los comentarios del usuario 12262 a la pregunta OP anterior; y en consideración de los comentarios establecidos allí (meta) .
Esa relación de ramificación específica también se analiza en el Capítulo 8, eq. (8.11) de estas notas de lectura de 't Hooft . El archivo pdf está disponible aquí .
@ user12262 También lancé algo de formato. Si lo golpeé demasiado, simplemente retroceda la edición.
@Qmechanic: " Esa relación de ramificación específica también se analiza en el Capítulo 8, ecuación (8.11) de estas notas de clase de 't Hooft. [ www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/lieg07.pdf (p. 46) ] " -- Con el mismo resultado (ec. 8.11: $Γ [Δ^{+} \to norte π^{+}] : Γ [Δ^{+} \to pags π^{0}] = 1 : 2$ $\Gamma[\Delta^+\rightarrow n~\pi^+] : \Gamma[\Delta^+\rightarrow p~\pi^0] = 1 : 2$ ), Gracias a dios. Un poco más arriba (en esa misma página) 't Hooft se refiere a two different irreducible representations of the isospin groupque la versión actual de esta respuesta había acuñado la frase "representaciones estatales para evaluar las probabilidades de transición". Lo suficientemente cerca, supongo...
@Chris White: " También lancé algo de formato. [...] " -- Ejemplar, en mi humilde opinión; Me gusta mucho, FWIW. (De hecho: sinceramente , también se incluyó nada más que el formato ...) Recuerdo mi frustración cuando inicié sesión aquí por primera vez (o fue justo antes de eso) porque no tenía (todavía) permiso para leer la fuente " código" de respuestas (ni comentarios); así que me sentí incapaz de igualar algunas formas esenciales de formato. (Verificaré si al menos community wikiel contenido de origen se puede leer sin iniciar sesión. (¿Cómo buscar community wiki, por cierto?))
@rob ("usuario 44126"): acabo de darme cuenta (con mucha sorpresa) de que he sido consciente 300de la reputación que había invertido bountyel 16 de julio de 2014 . Me gusta señalar que envié mi respuesta como (la primera) community-wikibajo el supuesto de que " las publicaciones de wiki de la comunidad... no confieren ninguna reputación ". (Reflexionando sobre cómo había ganado mis puntos de reputación hasta ese momento, consideré que "+300" era una cantidad bastante desproporcionada).
@ user12262 No estaba seguro de qué pasaría con la recompensa ya que la única respuesta nueva era una wiki de la comunidad. Ofrecí una gran recompensa por la pregunta porque no esperaba una solución tan sencilla. Si cree que la recompensa fue desproporcionada, siéntase libre de otorgar algunas recompensas de "respuesta excepcional" a algunas publicaciones que le gustaron más. ¡Salud!

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