¿Cuál es la relación entre las estadísticas de Maxwell-Boltzmann y el gran conjunto canónico?

Tienes toda la razón en que el límite en el que se mantiene esta aproximación es

que no es trivialmente el 'límite de alta temperatura' y, de hecho, se parece bastante al límite de baja temperatura. Sin embargo, también parece el límite de grandes negativos$\mu$. Si queremos saber cómo afectará la temperatura al exponente, necesitamos saber cómo afectará la temperatura al potencial químico. Para continuar, supongamos que estamos tratando con un gas de partículas que no interactúan. El gran potencial es, en este límite,

dónde$\mathcal{Z}_\epsilon$es la gran función de partición asociada con el nivel de energía$\epsilon$y$g(\epsilon)$es la densidad de estados. La integral es esencialmente solo una suma de las funciones de partición debidas a cada nivel de energía. Para llegar a la expresión final, hemos asumido que podemos aproximar la función de gran partición de la siguiente manera:

que corresponde al límite indicado en la parte superior. Como breve rodeo, si queremos encontrar la ocupación media del nivel de energía$\epsilon$, nosotros podemos usar

que es la distribución de Maxwell-Boltzmann que esperábamos (en la segunda igualdad, Taylor expandió el logaritmo de acuerdo con$\beta(\epsilon - \mu) \gg 1$). Ahora, la densidad de estados para un gas tridimensional en una caja se puede obtener por medios estándar. No me molestaré en analizarlo aquí, pero el resultado final es:

donde la longitud de onda térmica$\lambda$ha sido definida adecuadamente. Desde aquí podemos escribir

y por lo tanto

Ahora para responder a tu pregunta. La condición en la parte superior se puede considerar el límite de$\beta \mu$siendo grande y negativo. Vemos de lo anterior que

Esta cantidad será grande y negativa cuando el argumento del logaritmo sea pequeño. Este será el caso para a) bajas densidades$N/V$, b) altas temperaturas$T$y/oc) partículas de gran masa.

Debería pensar en la situación subyacente en la que se cumple el límite clásico como cuando el número de estados térmicamente accesibles supera con creces el número de partículas. Esto se debe a que, en tales circunstancias, podemos ignorar la ocupación múltiple de niveles de energía, lo que significa que podemos ignorar los detalles finos de la indistinguibilidad de las partículas. En la distribución canónica , cuando el número de estados supera ampliamente el número de partículas, podemos explicar la indistinguibilidad con una corrección simple (pero aproximada) de la división de la función de partición por$N!$--- debemos hacer esto incluso en el caso clásico, de lo contrario nos encontraremos con todo tipo de problemas como la paradoja de Gibbs. Sin embargo, cuando los estados empiezan a estar ocupados de forma múltiple, esta simple receta falla y necesitamos ser más sofisticados en nuestra consideración de la indistinguibilidad de las partículas.

Si imagina nuestras partículas de gas como paquetes de ondas con un ancho de$\lambda$como se definió anteriormente, entonces puedes pensar que cada partícula ocupa un volumen$\lambda^3$. Esto tiene una buena interpretación --- la cantidad$N \lambda^3/V$que aparece en la expresión del potencial químico puede considerarse como la fracción de espacio ocupada por las partículas. El límite clásico corresponde a que esta cantidad sea pequeña, por lo que es muy poco probable que dos partículas estén en el mismo lugar --- es decir, estén en el mismo estado (aquí estoy considerando esencialmente que los estados de nuestro sistema son estados propios de posición en lugar de los estados propios de energía habituales). Si esta cantidad se vuelve mayor, comenzamos a tener 'ocupación múltiple', por lo que imaginamos que nuestra aproximación clásica se romperá. Esto es consistente: cuando$N \lambda^3 /V \sim 1$, el argumento del logaritmo en el potencial químico ya no es grande y negativo, por lo que la condición en la parte superior de esta página se rompe.

¡Espero que esto ayude!

La confusión surge porque existen dos clases de límites clásicos, dependiendo del sistema en estudio.

Comencemos con los fermiones, cuya distribución es$n_F(\epsilon)=\frac{1}{e^{(\epsilon-\mu)/T}+1}$. El primer límite clásico (correspondiente al caso mencionado en la pregunta) es$T\gg \epsilon-\mu$. Esto corresponde al caso donde la temperatura es grande en comparación con todas las escalas de energía en el problema, y ​​obtenemos$n_F(\epsilon)=\frac{1}{2}$, lo cual tiene sentido ya que uno solo puede tener uno o cero fermiones en cualquier estado, por lo que a muy alta temperatura, cuando todos los estados son equiprobables, obtenemos$1/2$. Sin embargo, este caso no es para el que esperaría recuperar las estadísticas de Boltzmann, porque para un gas de fermión libre, la energía cinética$\epsilon_k$no está limitado (y por lo tanto$T\gg \epsilon$no es posible).

El gas clásico habitual corresponde al límite$\mu<0$y$|\mu|\gg T$, que devuelve la distribución esperada, y un gas muy diluido. Se muestra que es precisamente este límite el que devuelve los resultados clásicos usuales de Maxwell (por ejemplo, la expansión virial, etc.).

Ahora bosones, con distribución$n_B(\epsilon)=\frac{1}{e^{(\epsilon-\mu)/T}-1}$. El gas clásico de Maxwell se obtiene en el mismo límite que para los fermiones, donde el$\pm 1$no cuenta.

Wikipedia cita el límite$T$grande como clásico por la siguiente razón: para fotones,$\mu=0$, y la distribución es por lo tanto$n_B(\epsilon)=\frac{1}{e^{\epsilon/T}-1}$. en el limite$\gg \epsilon$, uno obtiene$n_B(\epsilon)=\frac{T}{\epsilon}$que es la distribución clásica de la energía de la luz y da, por ejemplo, la ley de Rayleigh-Jeans . Esta no es, por supuesto, la distribución clásica de partículas puntuales en un gas.

El párrafo introductorio que cita con horror dice temperatura "suficientemente alta" para evitar efectos cuánticos. (No dijo nada como "arbitrariamente grande".) Si la temperatura es demasiado baja, pueden ocurrir cosas como la condensación de Bose-Einstein, que invalidan las estadísticas de Maxwell-Boltzmann. La temperatura debe ser lo suficientemente alta como para que sea poco probable que tenga un efecto cuántico, pero no tan alta como para que ocurra la producción de pares (otro efecto cuántico más). Estas condiciones no tienen nada que ver con su análisis de la validez de descartar el más o el menos uno en el denominador, que es otra condición más para la validez de las estadísticas de Maxwell-Boltzmann. Otra condición es que la interacción entre las partículas sea débil: todas estas son condiciones independientes.

La constante de Boltzmann es bastante pequeña para los estándares macroscópicos:$1.3806488 \times 10^{-23} \mathrm{m^2} \mathrm{kg/s^2 K}$para que puedas ver eso$T$tendría que ser enorme antes de que hiciera la cantidad que le preocupa,$(\epsilon−\mu)/\mathrm{kT}$, mucho menos de 22.

Las estadísticas de Maxwell Boltmann se pueden derivar utilizando un conjunto canónico, un conjunto microcanónico o un conjunto grancanónico. Y también las estadísticas de Fermi Dirac, así como las estadísticas de Bose Einstein, también se pueden derivar de cualquiera de los conjuntos microcanónicos, canónicos o grancanónicos.