Relación entre la longitud de onda térmica (de Broglie) y la constante de Planck

Supongo que podrías pensarlo de esa manera, al menos en el desarrollo de la mecánica estadística clásica . El factor$h$actúa como una unidad de acción, para cada par coordenada-momento, que se necesita para hacer adimensional la función de partición canónica clásica:

$$Q = \frac{1}{N!h^{3N}} \int d^{3N}\mathbf{r} \int d^{3N}\mathbf{p} \, \exp\left[-\frac{K(\mathbf{p}^{3N})+\mathcal{V}(\mathbf{r}^{3N})}{k_BT}\right]$$ dónde $K$es la energía cinética y $\mathcal{V}$la energía potencial A veces se dice que define una "granularidad" o "discretización" cuántica en el espacio de fase, lo que nos permite traducir la suma cuántica de los estados en una integral clásica . Eso suena un poco a mano, pero se puede justificar examinando sistemas simples como el oscilador armónico y la partícula en una caja, e invocando un principio de correspondencia, y supongo que esta es la dirección desde la que se está acercando a esto. pregunta.

Si realmente hacemos las integrales sobre los momentos, lo cual podemos ya que

$$K = \sum_{i=1}^N\sum_{\alpha=x,y,z} \frac{p_{i\alpha}^2}{2m}$$ esta fórmula se convierte $$Q = \frac{1}{N!\lambda^{3N}} \int d^{3N}\mathbf{r} \, \exp\left[-\frac{\mathcal{V}(\mathbf{r}^{3N})}{k_BT}\right]$$ con la definición habitual de la longitud de onda térmica de Broglie, $$\lambda = \frac{h}{p_{\mathrm{th}}} = \frac{h}{\sqrt{2\pi mk_BT}}$$ Ahora $\lambda$establece una escala de longitud mecánica cuántica. Es la longitud de onda de una partícula "típica" a la temperatura dada. Si el sistema es en realidad un gas ideal, $\mathcal{V}=0$, la integral configuracional se puede hacer de manera trivial, y obtenemos el famoso resultado $$Q_{id} = \frac{V^N}{N!\lambda^{3N}} \sim \left(\frac{V/N}{\lambda^{3}}\right)^N$$ donde tengo (muy aproximadamente) establecido $N!\sim N^N$(la aproximación peor que Stirling). Como dice la página de Wikipedia , físicamente la proporción de volumen por partícula $V/N$a $\lambda^3$caracteriza el equilibrio entre el comportamiento cuántico y clásico. Entonces, de manera similar a $h$, que se relaciona con la discretización de posiciones y momentos juntos, se podría pensar en $\lambda$como caracterizando la discretización de coordenadas posicionales a nivel cuántico, a la temperatura dada, cuando hacemos la integración sobre posiciones (ya sea $\mathcal{V}$es cero o no).

Un alto valor de$Q$(en comparación con$1$) significa que hay muchos estados accesibles a la temperatura de interés, lo que de hecho es consistente con una pequeña separación entre las energías de los estados (en comparación con$k_BT$) y de ahí la validez de la aproximación clásica.