¿Cuál es la relación entre el plano de proyección y el plano proyectivo?

Respuesta corta: los dos conceptos "plano proyectivo" y "plano de proyección" son cosas diferentes, aunque están vagamente relacionados.

Respuesta más larga...

El "plano proyectivo", a menudo denotado por$P^2$, es un concepto matemático abstracto. Se utiliza en un campo de las matemáticas llamado "geometría proyectiva". Como explicó la otra respuesta, la idea básica es representar cada punto 2D por una línea 3D que pasa por el origen. El beneficio es que esto le permite representar puntos 2D que están "en el infinito". Puedes usar esta técnica con cualquier avión.

El "plano de proyección" es un plano específico que se utiliza en gráficos 3D por computadora. Los puntos de un objeto 3D se proyectan en el plano de proyección para producir una imagen 2D. Muy a menudo, el plano de proyección tiene ecuación$z=1$en algún sistema de coordenadas.

La gente a menudo usa coordenadas 4D (homogéneas) y$4\times 4$matrices para representar la proyección de 3D a 2D en gráficos por computadora. Este enfoque no está muy relacionado con el plano proyectivo.$P^2$, pero está algo relacionado con el 3-espacio proyectivo,$P^3$.

De manera similar, si usa coordenadas 3D (homogéneas) para representar puntos en cualquier plano, está trabajando efectivamente con el plano proyectivo,$P^2$. Pero tenga en cuenta que esto es cierto para cualquier avión. En particular, es cierto para el plano de proyección que usa en los gráficos por computadora, por lo que esta es la conexión entre el "plano de proyección" y el "plano proyectivo".

La razón principal por la que se utilizan coordenadas homogéneas en los gráficos por computadora es para que la proyección en perspectiva se pueda representar mediante una multiplicación de matrices. Pero no es necesario que utilice matrices y coordenadas homogéneas si no lo desea; todo el cálculo de proyección se puede realizar simplemente utilizando coordenadas 3D ordinarias. Y este enfoque no implica$P^2$o$P^3$o cualquier otro concepto de la geometría proyectiva.

Cada punto del plano proyectivo$P^2$se puede representar en la forma$[x : y : z] \in P^2$por algún punto$(x,y,z) \ne (0,0,0)$en$\mathbb R^3$. Usando esta representación tenemos$[x : y : z]=[rx : ry : rz]$para cualquier$r \ne 0$en$\mathbb R$.

El triple ordenado$(x,y,z) \in \mathbb R^3$se llama "coordenadas homogéneas" para el punto$[x : y : z] \in P^2$. Pero$[x:y:z]$y$(x,y,z)$no son iguales cuando un punto$[x : y : z]$del plano proyectivo se representa en coordenadas homogéneas como$(x,y,z)$, esa representación no es única , y el punto$[x : y : z]$en el plano proyectivo es un objeto matemático diferente a cualquier triple ordenada$(x,y,z) \in \mathbb R^3$que lo representa en coordenadas homogéneas.

Coordenadas homogéneas de la forma especial$(x,y,1)$no se puede utilizar para todo el plano proyectivo. Solo se pueden usar para una porción limitada del plano proyectivo de la siguiente manera:

• Un punto$[x:y:z]$en el plano proyectivo tal que$z \ne 0$puede ser representado, usando$r=\frac{1}{z}$, como $$[x:y:z] = [x/z:y/z:z/z]=[x':y':1]\quad\text{where}\quad x'=x/z, \quad y'=y/z$$

Si desea cubrir todo el plano proyectivo, la convención habitual es utilizar otros dos tipos especiales de coordenadas homogéneas:

• Puntos$[x:y:z]$en el plano proyectivo tal que$y \ne 0$puede ser representado, usando$r=\frac{1}{y}$, como

  $$[x:y:z] = [x/y:y/y:z/y]=[x':1:z']\quad\text{where}\quad x'=x/y, \quad z'=z/y$$

• Puntos$[x:y:z]$en el plano proyectivo tal que$x \ne 0$puede ser representado, usando$r=\frac{1}{x}$, como

  $$[x:y:z] = [x/x:y/x:z/x]=[1:y':z']\quad\text{where}\quad y'=y/x, \quad z'=z/x$$

Agregaré una cosa más: dado un punto$(x,y,z) \ne (0,0,0)$en$\mathbb R^3$, la definición formal del plano proyectivo te dice exactamente cuál es el punto$[x : y : z] \in P^2$es que se representa en coordenadas homogéneas como$(x,y,z)$. Esto le permite ver por sí mismo cómo, exactamente,$[x : y : z]$y$(x,y,z)$son diferentes.

A saber: