¿Cuál es la prueba matemática de la "velocidad neta"?

Lo que está tratando aquí normalmente se llama velocidad relativa . Honestamente, nunca antes había escuchado el término velocidad neta y no parece correcto hablar de varias velocidades "actuando" sobre un objeto.

Más bien, un objeto tiene una sola velocidad. Podemos hablar sobre sus componentes del vector de velocidad si queremos, pero eso es todo.

La velocidad relativa en un sentido no relativista (para una velocidad no demasiado alta) es simplemente la velocidad vista desde diferentes marcos y es simplemente la diferencia. Consideras la velocidad de algún otro objeto y luego restas tu propia velocidad "lejos".

• Si usted está flotando río abajo en un anillo de baño con la velocidad de la corriente, entonces pasará el barco de vela río arriba con la diferencia entre sus velocidades. Recuerda incluir signos, y luego es una simple resta:

  $$v_\text{of boat relative to you}=v_\text{boat} - v_\text{you}=v_\text{boat} - v_\text{stream}.$$ Este cálculo es válido para cualquier marco de referencia, es decir, para velocidades medidas desde cualquier marco (todavía suponiendo velocidades no demasiado altas).

• Si está parado en el suelo, entonces el bote también lo pasará con la velocidad relativa:

  $$v_\text{of boat relative to you}=v_\text{boat} - v_\text{you}=v_\text{boat}.$$ La última reducción se puede hacer cuando las velocidades se miden desde el marco del suelo, donde su propia velocidad es cero.

Una base matemática simple para determinar cantidades relativas

Debido a que todas las posiciones, velocidades y velocidades son relativas (es decir, no existe un marco absoluto que conozcamos), necesitamos un enfoque estructurado para describir estas cantidades. Podemos usar vectores para describir estas cantidades. Sin entrar en álgebra lineal formal, primero consideremos las posiciones. Esta figura muestra 3 puntos en una geometría cartesiana y las flechas que los conectan representan vectores de posición relativa. La flecha que apunta hacia B desde A es la posición de B relativa a A y en notación la llamaremos$\vec{r}_{BA}$. Las otras dos flechas/vectores serían$\vec{r}_{CB}$y$\vec{r}_{AC}$.

Geométricamente vemos que

Eso significa que si conocemos la posición del objeto A con respecto a C y C con respecto a B , podemos calcular la posición de B con respecto a A :

Ahora podemos calcular la velocidad de A relativa a B tomando la derivada temporal de ambos lados de la ecuación (1):

Aplicamos esto a tu problema diciendo que A es el bote, B es el observador en la orilla y C es el agua:

Para el movimiento 1D, si la velocidad del barco en relación con el agua es$+V_b$y la velocidad del agua relativa a la orilla es$-V_w$, entonces la velocidad del bote con respecto a la orilla es$V_b-V_w$.

El concepto de velocidad depende del observador. Si estás en la orilla del río y ves a alguien en un bote remando contra la corriente con el ritmo que resultaría en, por ejemplo, 3 m/s en un lago tranquilo, y si el río fluye con una velocidad de 2 m/s, entonces es lógico que percibas que el bote se moverá con una velocidad de 1 m/s. Sin embargo, si estás en el bote, el bote te parece estacionario, y el observador en la orilla es el que percibes que se está moviendo (en realidad, toda la costa se está moviendo desde esa perspectiva). Entonces, para iterar, esta velocidad neta que le interesa depende del observador.

Estoy de acuerdo contigo en que esto no está claro. Se basa en la idea de que las leyes de la física aplicables aquí (mecánica newtoniana, mecánica de fluidos) son invariantes de Galileo. cuales son Así que simplemente transfiérase al resto del marco de la corriente, haga que su bote se acelere allí y luego transfiera de regreso.

Uno puede ver que esta suposición realmente se hace, ya que no se sigue para situaciones relativistas.

Estoy respondiendo mi propia pregunta porque creo que se me ocurrió esto:

Cuando un bote viaja río arriba; digamos que la velocidad del bote es$v_b$(en agua tranquila), la velocidad de la corriente es$-v_s$. Ahora vamos a lo largo del agua tranquila, en un tiempo$t$el desplazamiento del barco$d_b= v_bt$. Después de que el bote ha recorrido la distancia, la corriente se mueve hacia atrás, y dado que el bote está en la corriente, retrocede la misma distancia que recorre la corriente, entonces, el desplazamiento del bote ahora es el desplazamiento de la corriente, que es$d_s=-v_st$. Entonces, el desplazamiento final del bote desde la posición inicial es

Observamos esto como la velocidad final como el intervalo de tiempo entre el barco que cubre la distancia$d_b$y luego retrocediendo por$d_s$es$0$, es decir, el "avanzar" y el "regresar" ocurren simultáneamente y lo que observamos es el desplazamiento final dividido por el tiempo empleado.

Supongamos que tenemos una serie de boyas flotando en el agua, cada una un metro aguas abajo de la anterior (supondremos que la corriente es lo suficientemente estable como para que permanezcan en la misma posición relativa entre sí). Supongamos que en 0 s el barco está en la boya 0 y a ambos se les asigna la coordenada x 0m. En 1 segundo el barco está en boya5. Entonces, en relación con el agua, el bote viaja a 5 m/s. En el tiempo 0 seg, la boya 5 estaba en x = 5 m. Si la corriente del río es de 1 m/s, entonces, en el tiempo de 1 segundo, la boya 5 está en x = 6 m. Entonces, el bote viajó 6 m en 1 s, con una velocidad de 6 m/s, que es igual a la velocidad actual más la velocidad del bote en relación con el agua.

Hasta cierto punto, la "velocidad relativa" es, por definición , la velocidad total menos la velocidad de la cosa con la que se relaciona, por lo que se deduce que la velocidad total es la velocidad relativa más la velocidad de la cosa con la que se relaciona. Una forma de pensar en un vector de posición es que es el vector de desplazamiento entre el origen y el punto que se está considerando. Es decir, dado un punto$A$,$\vec A= A-O$(en términos matemáticos, un espacio vectorial se puede definir a partir de un espacio afín eligiendo un punto de origen). Tenga en cuenta que$A$y$O$son puntos reales, mientras que$\vec A$es un vector de posición. Si queremos encontrar una velocidad, no importa qué punto elijamos como origen, siempre que sea consistente, porque la velocidad se calcula en términos de diferencia de vectores de posición.$\vec v = (\vec p_f - \vec p_i)/(t_f-t_i)$y$\vec p_f - \vec p_i = (P_f-O)-(P_i-O)=P_f-P_i$, entonces$O$cancela Sin embargo, si estamos midiendo la posición relativa a la corriente, entonces el punto de origen se está moviendo con la corriente, por lo que tenemos dos diferentes$O$, entonces tenemos$(P_f-O_f)-(P_i-O_i)=(P_f-P_i)-(O_f-O_i)$

Calcular la velocidad relativa a la corriente es diferente de calcular la velocidad en el marco de referencia de la corriente. Con las velocidades que encontrarás con los ríos, terminan siendo muy parecidos a lo mismo, pero a velocidades relativistas son diferentes.

No hay una "prueba" matemática, creo que la velocidad neta tiene que ser la suma vectorial de las velocidades individuales. Bien podría no serlo. Para situaciones cotidianas, observamos que esto es generalmente lo que sucede en el mundo real. Sin embargo, cuando la velocidad es mucho mayor (más cercana a la velocidad de la luz), la suma vectorial de velocidades resulta ser falsa. Entonces, este es realmente un problema de teoría de la física y no puede ser probado por las matemáticas.

Un cambio de marco de referencia a un sistema de coordenadas en movimiento se conoce como impulso . Que los impulsos se compongan como dices (suma de vectores) es un postulado de la mecánica clásica no relativista. En lenguaje técnico, la mecánica clásica no relativista asume que la física es invariante bajo la acción del grupo de Galileo.

En otras palabras, no puede esperar probar esta relación porque es una suposición fundamental. Como los físicos aprendieron más tarde, es una suposición que ni siquiera concuerda con la observación. Resulta que la física es en realidad (localmente) invariante bajo la acción del grupo de Poincaré. Aquí la situación es mucho más complicada. En lugar de una simple suma de vectores, podemos encontrar que dos impulsos se componen para darnos un impulso más una rotación.